Презентация "Квадратные уравнения" по математике – проект, доклад

Квадратные уравнения

Учитель математики ГБОУ Лицей №126 г.Санкт-Петербург Ольшина Марина Валерьевна

Цели: 1.Систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения»; 2.Развитие интереса к предмету. Задачи: 1.Знать определение квадратного уравнения, типы, методы решения; 2.Понимать отличительные особенности квадратных уравнений; 3.Применять полученные знания при решении рациональных, иррациональных уравнений, сокращении дробей, решении задач.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

325 – 409 г.г. по Р. Х. знаменитый александрийский математик.

ДИОФАНТ

В арифметике Диофанта отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96.

Если бы искомые числа были равны:

То произведение чисел было бы равно 100

ПРОТИВОРЕЧИЕ С УСЛОВИЕМ!!!

Значит, одно из этих чисел будет больше половины их суммы, т. е. (10 + х), другое же меньше, т. е. (10 – х). Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10+x)(10—x) =96, 100 —x2 = 96. x2 - 4 = 0 х = 2 Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Интересные способы решения квадратных уравнений встречаются в трудах индийского ученого Бхаскары (600 – около 680г.г.).

И арабского ученого Ал – Хорезми (780 – около 850г.г.)

Задача знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась, их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась, а двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Бхаскара пишет: x2 - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 1024, получая затем: x2 - 64х + 1024 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Задача Ал – Хорезми:

Квадратным уравнением называется уравнение вида где коэффициенты a,b,c-любые действительные числа, причем

Определение квадратного уравнения

Определение корня

Корнем квадратного уравнения называют такое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль;

Типы квадратных уравнений

полные неполные а) б) в)

a)9х2=0; б)3x+ x2+1=0; в)2x2-32=0; г) x2+4x=0; д)2х2+5х-7=0; е)12-х2+3х=0.

Данные уравнения разбейте на полные и неполные:

а) 9х2= 0; в) 2х2-32=0; г) х2+4х=0.

б) 3х+х2+1=0; д)2х2+5х-7=0; е)12-х2+3х=0.

неполные: полные:

Способы решения неполных квадратных уравнений

c=0 b=0 b=0;c=0

Решите уравнения:

Формулы корней полного квадратного уравнения

Корней нет Один корень Два корня

Формула четного коэффициента

b=2k a=1

Теорема Виета

- корни квадратного уравнения

1.Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулы корней:

2.Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3 и -7:

Применение квадратных уравнений

-решение рациональных уравнений;

-решение иррациональных уравнений;

-решение задач;

-разложение квадратного трехчлена на множители;

-сокращение дробей.

1.Решите уравнения:

2.Сократите дробь:

3.При каком значении параметра a уравнение имеет один корень?

Задание:

Проверь себя! Ответ: 1;2.

Ответ: -4;4.

Проверка: Ответ: 1.

-2-посторонний корень

2.Сократить дробь:

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0;

Ответ: а=-6;а=6. 3.

Составьте математическую модель для решения задачи:

В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 4 см, а другой – на 8 см. Найдите гипотенузу.

Домашнее задание:

3.При каком значении параметра а уравнение имеет один корень?

Использованные ресурсы

1.Ш.А.Алимов.Алгебра.Учебник для 8 класса. М. :Просвещение, 2007 2.М.В.Ткачева.Алгебра 8 класс. Дидактические материалы к учебнику Алимова. -М. :Просвещение, 2011. 3.Изображения: Диофант http://lunkina.hop.ru/diofant.jpg Бхаскара http://living-smartly.com/wp-content/uploads/2013/02/Bhaskarach%C4%81rya.jpg Ал-Хорезми http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/384/383503/383503_html_64e7f358.jpg Вавилонhttp://forexaw.com/TERMs/Geografiya/img228249_4-9_Mesopotamiya.jpg Веселая картинка http://mobka.info/sys/data/avators/3/gsiGQM.jpg