Презентация "Экстремум функции" по математике – проект, доклад

9.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции называется экстремумом функции.

max min

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции.

Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Например, функция

имеет минимум в точке

но она в этой точке не дифференцируема.

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

необходимое условие экстремума:

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными.

Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической.

Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Найти критические точки и экстремумы функций:

1 Примеры

Решение:

Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

2

Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

первое достаточное условие экстремума

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором интервале

а на некотором интервале

Тогда функция y=f(x) будет возрастать на

и будет убывать на

По определению возрастающей функции

Для убывающей функции

-точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Найти производную функции

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

схема исследования функции на экстремум

3

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.

4

Найти экстремум функции.

Исследовать функцию на экстремум:

Пример

Применим схему исследования функции на экстремум:

Находим производную функции:

Находим критические точки:

критические точки

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

В точке х=1 экстремума нет.

Находим экстремум функции:

Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то х0 есть точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то х0 есть точка максимума.

второе достаточное условие экстремума:

Пусть следовательно

и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

функция

будет возрастать на

содержащем точку х0.

Но на интервале а на интервале

Таким образом, функция

при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.

Аналогично доказывается случай для максимума функции.

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на:

Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума.

Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума.

В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.