- Элементарные функции и их графики

Конспект урока «Элементарные функции и их графики» по алгебре

Методические рекомендации для обучающихся по теме

«Элементарные функции и их графики»

1

         Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо

Пр порциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:             

y  = k x ,

                                                 

где  k  - постоянная величина (коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности  прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол http://www.bymath.net/studyguide/alfa.gif, тангенс которого равен  k : tqα = k  ( рис. ).

 Поэтому,коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис. показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = 3 .

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9a.gif


2

Линейная функция. 

Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:

 

A x + B y = C ,

                          

где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

 

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9b.gif


3

Обратная пропорциональность. 

Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y =                                   

где  k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности гипербола ( рис.10 ).  У этой кривой две ветви. 

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9c.gif

Основные характеристики и свойства гиперболы:

        - область определения функции:  x http://www.bymath.net/studyguide/neq.gif0,  область значений:  y http://www.bymath.net/studyguide/neq.gif 0 ;

  - функция монотонная ( убывающая ) при  x  0 и при  x > 0, но не 

 монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ;

  - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

  - нулей функция не имеет.

4

Квадратичная функция. 

Это функция: y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c  постоянные

В простейшем случае: b = c = 0 и  y = ax 2.

График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). 

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9d.gif


График
 функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9p.gif

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D = b2  4ac.  Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9e.gif

5.

Степенная функция. Это функция:  y = axn, где a, n – постоянные.

При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax;

при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу. 

Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n http://www.bymath.net/studyguide/geq.gif 0 ) и рис.14 ( n 

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9f.gif

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9g.gif


Если 
 n – целые, степенные функции имеют смысл и при x  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9h.gif


При 
n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y.  При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x 3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9r.gif.

6.

Показательная функция. Функция   y = ax, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.

 Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа.

Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1.

При  a> 1 показательная функция возрастает, a при  0  a 

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9i.gif



7.

Логарифмическая функция. 

Функция  y = log a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической.

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9j.gif

Свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0;

    - это монотонная функция: она возрастает при  a > 1 и убывает при 0    a 

    - функция неограниченная, всюду непрерывная;

    - у функции есть один ноль:  x = 1.

8.

Тригонометрические функции. 

При построении тригонометрических функций мы используе м радианную меру измерения углов. Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9k.gif

График функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на 2 http://www.bymath.net/studyguide/pi.gif

http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9l.gif

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: http://www.bymath.net/studyguide/infnt.gif x + http://www.bymath.net/studyguide/infnt.gif; область значений:  -1 http://www.bymath.net/studyguide/leq.gif  y http://www.bymath.net/studyguide/leq.gif 1;

    - эти функции периодические: их период 2http://www.bymath.net/studyguide/pi.gif;

- непрерывные, периодические;

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

Методические рекомендации подготовила Короткова Н.Н. ,

преподаватель математики

     



Здесь представлен конспект к уроку на тему «Элементарные функции и их графики», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Функции у=ах2 и у=ах3 и их графики

Функции у=ах2 и у=ах3 и их графики

Учитель: Г.М. Уркумбаева. Урок2 алгебры в 7-м классе. по теме "Функции у=ах2. и у=ах3. и их графики". Тип урока:.  усвоение новых знаний. ...
Числовые функции их свойства и графики

Числовые функции их свойства и графики

Технологическая карта урока математики в 9 классе по теме: «Числовые функции их свойства и графики», учебник  А.Г.Мордковича. Урок развивающего контроля ...
Степенные функции, их свойства и графики

Степенные функции, их свойства и графики

Конспект урока на тему. «Степенные функции, их свойства и графики». Учитель. : Чижова Светлана Анатольевна г. Иваново. Тип урока:. урок формирования ...
Функции и их графики

Функции и их графики

Муниципальное автономное образовательное учреждение,. средняя общеобразовательная школа №58,. п. Мулино, Володарский район, Нижегородская область. ...
Функции и их графики

Функции и их графики

МОУ – СОШ №4. Урок алгебры в 9-а классе. « Функции и их графики». Авторский урок. подготовила и провела. учитель математики I. категории. ...
Свойства линейной функции

Свойства линейной функции

Государственное бюджетное образовательное учреждение. средняя общеобразовательная школа №200 с углубленным изучением финского языка. Красносельского ...
Производная сложной функции

Производная сложной функции

АЛГЕБРА. 10 класс. «Производная сложной функции». Тема. : Производная сложной функции. ...
Производная показательной и логарифмической функции

Производная показательной и логарифмической функции

КГУ «Средняя школа №7 города Зыряновска». «Производная показательной и логарифмической функции». Учитель: ...
Применение производной к исследованию функции

Применение производной к исследованию функции

Обобщающий урок в 11 классе по теме. «Применение производной к исследованию функции». Цель урока:. Систематизирование и обобщение знаний ...
Применение производной к исследованию функции

Применение производной к исследованию функции

МОУ Греково-Степановская СОШ. . Чертковского района Ростовской области. Учитель математики и информатики. Киселева Лариса Анатольевна. Урок алгебры ...
Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание функции

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. гимназия №19 им Поповичевой Н.З., г. Липецка. Конспект урока по алгебре в 9 классе (политехнический ...
График квадратичной функции и модуль

График квадратичной функции и модуль

Администрация города Улан - Удэ. Комитет по образованию. МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 25». Урок алгебры в 9 классе. ...
Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме. «Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции». . ...
Кусочно-заданные функции

Кусочно-заданные функции

7. . . Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж.Н. МОУ «СОШ №23». 19.03.07г. Тема урока:. «Кусочно-заданные функции». Цели:. обобщить ...
Квадратичная функция. Построение графика квадратичной функции

Квадратичная функция. Построение графика квадратичной функции

Конспект урока. Тема урока:. Квадратичная функция. Построение графика квадратичной функции . Класс:. 8. Цели урока:. . . 1. Формирование ...
Исследование функции с помощью производной

Исследование функции с помощью производной

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №151 Красногвардейского района Санкт-Петербурга. 195426, ...
Исследование функции с помощью производной

Исследование функции с помощью производной

Выездное заседание республиканского клуба «Пеликан». 20 марта 2012 г. План-конспект урока. Тема «Исследование функции с помощью производной». ...
Исследование функции

Исследование функции

Яковлева Мария Викторовна. МОУ Приморская СОШ. Челябинская область Агаповский район поселок Приморский. Учитель математики. Урок по теме ...
График функции y=ax2

График функции y=ax2

Конструкт урока по алгебре в 8 классе. Составители: Морозова Н. Н., Шиганова О.В., МАОУ «СОШ № 40», г. Новоуральска Свердловской обл. Тема:. График ...
Свойства функции

Свойства функции

Управление образования г.Астаны. ИПК и ПК СО. ГУ «Средняя школа № 36». Урок алгебры в 10 классе по теме: «Свойства функции». Подготовила: ...