Конспект урока «Исследование функции с помощью производной» по алгебре для 11 класса

Выездное заседание республиканского клуба «Пеликан»

20 марта 2012 г.

План-конспект урока

Тема «Исследование функции с помощью производной»

11 класс

Цель урока:

- обобщить знания и умения учащихся по теме «Исследование функции с помощью производной»

- формировать навыки самоконтроля, поисковой деятельности

- воспитывать интерес к изучению математики, ценностное отношение к полученным знаниям.

Оборудование: интерактивная доска, презентация PowerPoint, рабочие листы учащихся

Ход урока

1. Организационный момент. Учитель организует детей, сообщает тему и цели урока.

2. Вступительное слово учителя:

Эпиграф:

«Математике должно учиться в школе еще с той целью,

чтобы познания здесь приобретаемые, были достаточными

для обыкновенных потребностей в жизни»

Н.И.Лобачевский

Как и многие разделы математики, дифференциальное исчисление возникло из необходимости решения практических задач. В основном источником дифференциального исчисления явились задачи двух видов: на нахождение наибольших и наименьших значений величин, т.е. задач на нахождение экстремумов, на вычисление скоростей. Задачи на нахождение максимума и минимума встречаются еще в «Началах» Евклида. В 1629 году математик Пьер Ферма, уже владел методом определения максимумов и минимумов. Огромный вклад в развитие теоии дифференциального исчисления внесли И.Ньютон, Г.Лейбниц, братья Бернулли.

Голландский ученый Х.Гюйгенс написал Лопиталю о широте методов дифференциального исчисления: «Я вижу с удивлением и восхищением обширность и плодовитость нового метода. Куда бы ни обратил я взор, я замечаю для него новые приложения, я предвижу его бесконечное развитие и прогресс»

И он не ошибся, теория экстремумов функций и сегодня находит многочисленные практические применения в решении задач производства и экономики, связанных с оптимальным использованием сырья и времени.

3. Актуализация опорных знаний.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» у вас были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график . Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

Сначала повторим основные теоретические положения.

Задание 1. Выберите правильный ответ.

Задание 2. Укажите ложные и истинные высказывания.

Устная работа:

1) на рисунке изображены графики функций. Ответьте на вопросы: каким промежуткам монотонности принадлежат указанные точки?

В каких точках производная функции равна 0? не существует? Слайд5

2) Для функции, определенной на множестве R:

Укажите количество критических точек функции

Промежутки монотонности функции

Количество точек экстремума функции

Точки минимума и максимума функции

Слайды 6,7

3) Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной. Укажите:

Промежутки монотонности функции

Количество точек экстремума функции

Точки минимума и максимума функции

Слайды 6,7,8.

4. Практическая часть. Все вы выпускники, и скоро вам предстоит сдача ЕГЭ по математике. В ходе подготовки к экзамену вы рассмотрели задания по теме «Геометрический смысл производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции». Прототипы заданий части В по этим темам вы можете увидеть на сайте «Открытый банк заданий ЕГЭ по математике».

Перед вами рабочий лист с заданиями из Открытого банка задач.

Тип задачи

А)Задание В14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Б) Задание В14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

С) Задание В14. Найдите точку максимума функции

Д) Задание B8.

Прямая у= 2х параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Е) Задание В8. Прямая у= - 5х+8 является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

5. Самостоятельная работа. (Резерв) Выполните задания и ответьте на вопросы.

№1

№2

№3

6. Математический диктант.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале

(-6; 6).

Рис.1

1. Сколько точек экстремума имеет функция ? _________

2. Найдите точку минимума функции . ________

3. Найдите длину промежутка убывания функции, округлите длину до целых. _______

4. Точка х= 4 принадлежит промежутку возрастания или убывания функции ? _________________

5. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  или совпадает с ней. _______

6. Сколько целых точек принадлежит промежуткам возрастания функции ? _________

На рисунке изображен график  функции , определенной на интервале (-5; 5).

Рис.2

7. Найдите количество критических точек функции . ______

8. Найдите количество точек экстремума функции . ________

9. Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна. ________

10. В какой точке отрезка [-4; 1]  принимает наименьшее значение? ________

Проверьте себя по ответам.

1. 2

2. 2

3. 7

4. возрастания

5. 4

6. 3

7. 5

8. 4

9. 8

10. 1

Подсчитайте количество баллов, поставьте себе оценку.

Критерии:

9-10 баллов – оценка 5

7-8 баллов – оценка 4

5-6 баллов – оценка 3

0-4 балла – оценка 2.

7. Подведение итогов урока. Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ. Желаю вам успешной сдачи ЕГЭ.

8. Д.з. изучить прототипы заданий из Открытого банка заданий ЕГЭ по математике на сайте mathege.ru.