Конспект урока «Исследование функции с помощью производной» по алгебре для 11 класса

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №151 Красногвардейского района Санкт-Петербурга

195426, г. Санкт-Петербург, ул . Хасанская д. 14, к. 2 тел.:(812) 417-24-80.

Методическая разработка урока алгебры в 11классе по теме «Исследование функций с помощью производной».

Подготовила: учитель математики

ГОУ СОШ №151 г. Санкт-Петербурга

Богданова Людмила Васильевна

Санкт-Петербург

2014 год

Учитель: Богданова Людмила Васильевна.

Школа: СОШ №151 Красногвардейского района Санкт –Петербурга

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс 11

Тема: Исследование функции с помощью производной

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Цели:

дидактическая: Обобщить знания по теме: «Применение производной к исследованию функций, активизировать работу учащихся на уроке за счёт вовлечения их в различные способы решения задач.

развивающая: развивать логическое мышление учащихся в области математики, сообразительность, умение быстро ориентироваться в смене заданий, тренировать память, формировать умение применять теоретические знания к работе с графиком функции, производной и касательной.

воспитательная: развитие интереса и внимания при решении задач по готовым чертежам.

Средства наглядности: 1. Ноутбук с проектором для демонстрации.

2. Раздаточный материал для решения задач на уроке.

3.Карточки с текстом задания на дом.

Доска к началу урока : на доске записаны дата и тема урока : «Исследование функции с помощью производной».

План урока:

1. Проверка домашнего задания.

2.Устная работа. Продолжите предложение.

3.Работа с графиками функций.

4.Работа с графиками производной.

5. Исследование функции без производной.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

Ученик у доски решает 1пример из домашнего задания.

Домашнее задание: найти точку максимума, точку минимума для функций:

1) у = у = 7+12х–х³

2) у =  9х²– х³.

3) у = (х³/3)–9х–7.

4) у = 7+12х–х³

1). Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х³

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х² = 0

х² = 4

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–3)'=12 – 3∙(–3)² = –15

у(0)'=12 – 3∙0² = 12 > 0

у(3)'=12 – 3∙3² = –15

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит, это есть искомая точка максимума.

Ответ: 2

В точке х = - 2 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит, это есть искомая точка минимума.

Ответ: х = – 2.

2). Найдите точку максимума функции у =  9х²– х³.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х² = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–1)'=18 (–1) –3 (–1)² = –21

у(1)'=18∙1 –3∙1² = 15 > 0

у(7)'=18∙7 –3∙7² = –1

В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит, это есть искомая точка максимума.

Ответ: 6

Ответ:для этой же функции точкой минимума является

точка х = 0.

3). Найдите точку максимума функции у = (х³/3)–9х–7.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

х² – 9 = 0

х² = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–4)'= (–4)² – 9 > 0

у(0)'= 0² – 9

у(4)'= 4² – 9 > 0

В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: – 3

Ответ: для этой же функции точкой минимума является

точка х = 3.

4). Найдите точку максимума функции у = 5+9х– (х³/3).

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

9 – х²  = 0

х² = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–4)'= 9 – (–4)² 

у(0)'= 9 –  0²  > 0

у(4)'= 9 – 4² 

В точке х = 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 3

Ответ:для этой же функции точкой минимума является

точка х = – 3.

2.Устная работа. Продолжите предложение.

Слайд 1. B 8 . На рисунке изображен график функции ,

определенной на интервале (−6; 8).

1)Точка Х₀ называется точкой максимума функции, если …..

Точка Х₀ называется точкой минимума функции, если ….

2) Если функция возрастает, то производная ….

3) Если функция убывает, то производная …..

4) В точках экстремумов производная равна …

На рисунке изображён

график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4).

1) Если во всех точках некоторого интервала производная больше 0, то ….

2) Если производная меньше, то функция ….

3) Если производная равна нулю

и меняет знак с «+» на «-« ,то это точка ….

Если производная равна нулю

и меняет знак с «-» на «+» ,то это точка ….

3.Работа с графиками функций.

1) Вычисление значения производной в точке по графику функции. Слайды5,6.

Геометрический смысл производной. Значение производной функции f(x) в точке х₀ равно tga — угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь ∆ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

2) По графику функции определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна (положительна),равна нулю.

Слайды 7-11.

4.Работа с графиками производной.

1)По графику производной функции определить точки максимума, точки минимума.

Слайды 13, 14.

2) По графику производной функции определитьдлину промежутка возрастания (убывания) функции.

Слайды 15-18.

5. Работа в группах по 2 человека.

Решаем самостоятельно 10 заданий.

Проверяем , решение на слайдах .

5. Исследование функции без производной.

Найдите точку максимума функции  У=8^{-30+12x-x^2}.

Решение:

Квадратный трехчлен f=-30+12x-x², являющийся показателем степенной функции достигает максимума в точке x=6 (в вершине параболы  с ветвями вниз).

В силу возрастания функции Y=8^f (на R ) максимум ее также достигается в точке x=6.

Ответ: 6.

6. Подведение итогов.

7.Рефлексия

8.Домашнее задание.

Презентации к уроку.