Презентация "Понятие комбинаторики" по математике – проект, доклад

МБОУ "Среднекибечская СОШ

Канашского района ЧР

Проектно-исследовательская работа на тему:

Комбинаторика

Выполнил: Прокопьев Кирилл Руководитель: Тимофеева Г.Ф.

2012 год

Цели и задачи

Знакомство с новым разделом математики Рассмотреть все тонкости этого раздела Научиться решать задачи по комбинаторике

Комбинаторика очень нужный и сложный раздел математики. Он учит рассуждать, перебирая различные варианты решения задачи, учит мыслить нестандартно. Плюс к тому в заданиях ЕГЭ 2012 по математике будут задачи на комбинирование. Т.е. для хорошей сдачи экзаменов мы кроме всего остального должны знать и комбинаторику. К тому же, в жизни встречается масса задач связанных с комбинаторикой(мы их рассмотрим чуть позже)

Актуальность

КОМБИНАТОРИКА – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или ребра. Исследование графов ведется комбинаторными методами математики.

ДЕРЕВО ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ – граф, схема, отражающая структуру задачи, упорядочения многошагового процесса принятия решений. Ветви дерева отображают различные события, которые могут иметь место, а корень дерева – состояние, в котором возникает необходимость выбора.

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА – задача, требующая осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа. ОРГАНИЗОВАННЫЙ ПЕРЕБОР – строгий порядок разбора всех случаев, возможных решений.

Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное число без повторяющихся цифр Решение: (воспользуемся деревом возможных вариантов)

Решение элементарных задач

Дерево возможных вариантов

1 5

Ответ: 6 комбинаций

Пример 2

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4,7 Решение: сначала запишем числа начинающиеся с цифры 1,затем 4 и 7 11 14 17 41 44 47 71 74 77

Ответ:9

1 Правило суммы: n(AυB)=n(A)+n(B), n-мощность множеств n(A) - число элементов во множестве Пример: На одной полке книжного шкафа стоит 45 различных книг, а на другой – 55 различных книг (и не таких, как на первой полке), сколькими способами можно выбрать одну книгу из стоящих на этих полках? Решение: n(A)=45(книги первой полки) n(B)=55(книги второй полки) n(AυB)=n(A)+n(B)=45+55=100

9 Правил комбинаторики

Ответ:100 вариантов

n(A*B)=n(A)*n(B)

2. Правило произведения

На столе лежат 5 груш, 7 яблок и 6 мандаринов. Сколькими способами ребёнок может выбрать для себя набор из этих фруктов(притом размеры каждого фрукта различны) A-множество груш В-множество яблок С-множество мандаринов N(A*B*C)=n(A)*n(B)*n(C)=5*7*6=210 Овет:210 вариантов

n(AυB)=n(A)+n(B)-n(A B)

3. Формула включений и исключений

υ

В сентябре было 12 дождливых дней, 8 ветряных,10 холодных, 6 и дождливых, и ветреных; 7 и дождливых, и холодных; 5 и ветреных, и холодных; з дня и дождливых, и ветреных и холодных. Сколько дней в сентябре была хорошая погода?

Решение

А-мн.дождл. Дней n(A)=12 В-мн. Ветреных n(B)=8 С-мн. Холодных n(C)=10 D-мн.хороших дней n(AB)=6, n(AC)=7, n(BC)=5, n(ABC)=3 n(AυBυC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)=12+8+10-6-7-5+3=15 D=30-15=15 Ответ:15 дней

A =n

Правило размещения

m n

Где: «-»-элемент повторения m-количество используемых элементов n- из скольких элементов состоит Если порядок важен используется А, если нет, то С(познакомимся чуть позже)

Задача

На вокзальных путях стоит 6 светофоров, имеющих три разных цвета. Сколькими способами можно дать различные сигналы на этих путях Решение: В данном случае важен порядок и есть повторение, то А =3=729

3 6 Ответ:729

Размещение без повторения

А = ( )

Абонент набирая номер знакомого по телефону забыл последние 2 цифры и помня лишь, что они различны, набрал его наугад. Сколько возможных вариантов существует для абонента набрать верный номер

2 10 10! (10-8)! = 10*9*8*….*1 8*7*6*5*4*3*2*1 90 Ответ:90

Правило перестановки

Р = !

Сколько всего четырёхзначных чисел( в которых цифры не повторяются) можно написать используя числа 2,3,4,9

Р =4!=4*3*2=24 4 Ответ: 24

Сочетание без повторения

Ежедневно из 30-ти учеников для дежурства выделяются 2 ученика по списку. Можно ли составить график на весь учебный год, чтобы никакие 2 ученика не дежурили вместе дважды в течение учебного года(уч. год 210 дн)

С 30 30! 2!(30-2)! 30*29*28*27…*2 2(28*27*…*2) 435 Ответ:435

Сочетание с повторением

+m-1

В магазине есть 5 белых роз, 6 чайных, 4 жёлтых, 2 бордовых. Сколькими способами можно составить букет из этих роз?

9 17 17+9-1 25! 17!*8! 25*24*23*22*21*20*19*18 8*7*6*5*4*3*2 360525

Вывод

Итак, мы научились решать комбинаторные задачи. Но то, что мы посмотрели, это лишь капля в море. Для того, чтобы уметь хорошо решать комбинаторные и иные задачи надо прежде всего много сидеть самому.

Литература

Свободная энциклопедия Википедия Журнал «Математика в школе»