- Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики

Презентация "Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики" по математике – проект, доклад

Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Слайд 15
Слайд 16
Слайд 17
Слайд 18
Слайд 19
Слайд 20
Слайд 21
Слайд 22
Слайд 23
Слайд 24
Слайд 25
Слайд 26
Слайд 27

Презентацию на тему "Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 27 слайд(ов).

Слайды презентации

§5. Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики Определение 1. Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два разных делителя: 1 и само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух различных делителей.
Слайд 1

§5. Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики Определение 1. Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два разных делителя: 1 и само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух различных делителей.

Примеры. Числа 2, 3, 5, 7, 11 простые, числа 4, 6, 18, 100 составные. Отметим, что число 1 не является ни простым, ни составным. Существует стандартная система обозначений простых чисел: Р1 – первое по величине простое число (ясно, что Р1 = 2), Р2 – следующее простое число, (Р2 = 3), (Р3 = 5), (Р4 =
Слайд 2

Примеры. Числа 2, 3, 5, 7, 11 простые, числа 4, 6, 18, 100 составные. Отметим, что число 1 не является ни простым, ни составным. Существует стандартная система обозначений простых чисел: Р1 – первое по величине простое число (ясно, что Р1 = 2), Р2 – следующее простое число, (Р2 = 3), (Р3 = 5), (Р4 = 7), (Р5 = 11), (Р6 = 13), (Р7 = 17), (Р8 = 19) и т.д. Вообще Рn – n-ое простое число. К сожалению, не существует аналитической формулы f (n), которая позволила бы вычислять любое простое число Pn.

Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много. Доказательство. Допустим, существует лишь конечное число простых чисел. Перечислим их: P1, Р2, …, РN. Значит, любое другое натуральное число содержит в качестве делителя по крайней мере одно из Рi (i = 1, 2, …, N). Рассмотрим число Р = Р1 Р2 … РN
Слайд 3

Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много. Доказательство. Допустим, существует лишь конечное число простых чисел. Перечислим их: P1, Р2, …, РN. Значит, любое другое натуральное число содержит в качестве делителя по крайней мере одно из Рi (i = 1, 2, …, N). Рассмотрим число Р = Р1 Р2 … РN + 1. Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел

так как при делении на любое из этих чисел Р дает в остатке 1. Значит, допущение о конечности множества простых чисел неверно. Простых чисел существует бесконечно много. Замечание. По дошедшим до нас историческим источникам это доказательство принадлежит Евклиду и является первым примером в математи
Слайд 4

так как при делении на любое из этих чисел Р дает в остатке 1. Значит, допущение о конечности множества простых чисел неверно. Простых чисел существует бесконечно много. Замечание. По дошедшим до нас историческим источникам это доказательство принадлежит Евклиду и является первым примером в математике доказательства «методом от противного». Простые числа являются «кирпичиками» из которых строятся все остальные натуральные и целые числа, отличные от 0, -1, 1.

Теорема3. (основная теорема арифметики). Для любого натурального числа а ≠ 1 имеет место равенство а = для некоторых неотрицательных целых α1, α2, …, αк и натурального k. Правая часть равенства называется разложением числа а в произведение простых чисел. Такое разложение при фиксированной нумерации
Слайд 5

Теорема3. (основная теорема арифметики). Для любого натурального числа а ≠ 1 имеет место равенство а = для некоторых неотрицательных целых α1, α2, …, αк и натурального k. Правая часть равенства называется разложением числа а в произведение простых чисел. Такое разложение при фиксированной нумерации множества простых чисел единственно.

Пример. 10 = 2 ∙ 5 = 21 ∙ 30 ∙ 51 , 81 = 34 = 20 ∙ 34 , 200 = 2 ∙ 100 = 8 ∙ 25 = 23 ∙ 52 = 23 ∙ 30 ∙ 52.
Слайд 6

Пример. 10 = 2 ∙ 5 = 21 ∙ 30 ∙ 51 , 81 = 34 = 20 ∙ 34 , 200 = 2 ∙ 100 = 8 ∙ 25 = 23 ∙ 52 = 23 ∙ 30 ∙ 52.

Определение 4. Пусть а,b N. Число с называется общим делителем а и b , если оба они делятся на с без остатка. Примеры. Пусть а = 24, b = 36. Тогда общими делителями a и b будут числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Число 8 не будет общим делителем чисел 24 и 36. Пусть а = 10, b = 30. Общие делители – 1, 2, 5. П
Слайд 7

Определение 4. Пусть а,b N. Число с называется общим делителем а и b , если оба они делятся на с без остатка. Примеры. Пусть а = 24, b = 36. Тогда общими делителями a и b будут числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Число 8 не будет общим делителем чисел 24 и 36. Пусть а = 10, b = 30. Общие делители – 1, 2, 5. Пусть а = 16, b = 35. Общий делитель, равный 1, единственный.

Теорема 5. Пусть и Число b является делителем а в том и только в том случае, когда βi ≤ αi для любого i = 1,…, n.
Слайд 8

Теорема 5. Пусть и Число b является делителем а в том и только в том случае, когда βi ≤ αi для любого i = 1,…, n.

Следствие 6. Пусть для натурального числа а имеет место равенство Тогда число делителей а вычисляется по формуле (α1 + 1) ∙ (α2 + 1) ∙ … ∙ (αn + 1).
Слайд 9

Следствие 6. Пусть для натурального числа а имеет место равенство Тогда число делителей а вычисляется по формуле (α1 + 1) ∙ (α2 + 1) ∙ … ∙ (αn + 1).

Теорема 7. Пусть и Тогда число является общим делителем чисел а и b в том и только в том случае, когда γ1 ≤ min (α1, β1), γ2 ≤ min (α2, β2), …, γn ≤ min (αn, βn).
Слайд 10

Теорема 7. Пусть и Тогда число является общим делителем чисел а и b в том и только в том случае, когда γ1 ≤ min (α1, β1), γ2 ≤ min (α2, β2), …, γn ≤ min (αn, βn).

Определение 8. Число c называется наибольшим общим делителем чисел а и b (обозначение: с = НОД (а, b)), если с является самым большим из всех общих делителей чисел а и b. Примеры. Пусть а = 24, b = 30. Тогда НОД (24, 30) = 6. Если а = 10, b = 33, то НОД (10, 33) = 1; НОД (а, а) = а. Пусть а = 12, b
Слайд 11

Определение 8. Число c называется наибольшим общим делителем чисел а и b (обозначение: с = НОД (а, b)), если с является самым большим из всех общих делителей чисел а и b. Примеры. Пусть а = 24, b = 30. Тогда НОД (24, 30) = 6. Если а = 10, b = 33, то НОД (10, 33) = 1; НОД (а, а) = а. Пусть а = 12, b = 48. Тогда НОД (12, 48) = 12.

Теорема 9. Пусть а и b натуральные числа, Тогда НОД (а,b)= где γi = min (αi,βi), i = 1,2,3, …, n.
Слайд 12

Теорема 9. Пусть а и b натуральные числа, Тогда НОД (а,b)= где γi = min (αi,βi), i = 1,2,3, …, n.

Следствие 10. Любой общий делитель чисел а и b является также делителем НОД (а, b). Определение 11. Число а называется кратным числу b (а,b N), если а делится на b или, что тоже самое, b есть делитель а. Тот факт, что а делится на b, будет обозначать как b .
Слайд 13

Следствие 10. Любой общий делитель чисел а и b является также делителем НОД (а, b). Определение 11. Число а называется кратным числу b (а,b N), если а делится на b или, что тоже самое, b есть делитель а. Тот факт, что а делится на b, будет обозначать как b .

Пример. Пусть b =3. Тогда кратным ему будут числа 3,6, 9, 12, … . Их можно описать общей формулой а = 3n (n N). Этот пример показывает, что в отличие от делителей, количество кратных любому натуральному числу b бесконечно.
Слайд 14

Пример. Пусть b =3. Тогда кратным ему будут числа 3,6, 9, 12, … . Их можно описать общей формулой а = 3n (n N). Этот пример показывает, что в отличие от делителей, количество кратных любому натуральному числу b бесконечно.

Определение 12. Если число а делится на число b и с, то а называется общим кратным чисел b и с. Примеры. Если b = 6, c = 8, то общее кратное этих чисел равно 24. Также общими кратными являются числа 48, 72, … .
Слайд 15

Определение 12. Если число а делится на число b и с, то а называется общим кратным чисел b и с. Примеры. Если b = 6, c = 8, то общее кратное этих чисел равно 24. Также общими кратными являются числа 48, 72, … .

Теорема 13. Пусть, Тогда число является общим кратным чисел b и с тогда и только тогда, когда α1 ≥ max (β1,γ1), α2 ≥ max (β2,γ2), …, αn ≥ max (βn,γn).
Слайд 16

Теорема 13. Пусть, Тогда число является общим кратным чисел b и с тогда и только тогда, когда α1 ≥ max (β1,γ1), α2 ≥ max (β2,γ2), …, αn ≥ max (βn,γn).

Доказательство. Пусть а – общее кратное b и с. Так как а делится на b, то αi ≥ βi, i = 1, 2, 3, …, n. Так как а делится на с, то αi ≥ γi, i = 1, 2, 3, …, n. Так как αi ≥ βi и αi ≥ γi , то αi ≥ max (βi,γi). Докажем в другую сторону. Так как αi ≥ max (βi,γi), то αi ≥ βi для каждого i = 1, 2, 3, …, n,
Слайд 17

Доказательство. Пусть а – общее кратное b и с. Так как а делится на b, то αi ≥ βi, i = 1, 2, 3, …, n. Так как а делится на с, то αi ≥ γi, i = 1, 2, 3, …, n. Так как αi ≥ βi и αi ≥ γi , то αi ≥ max (βi,γi). Докажем в другую сторону. Так как αi ≥ max (βi,γi), то αi ≥ βi для каждого i = 1, 2, 3, …, n, значит а делится на b. Аналогично, а делится на с, то есть а – общее кратное b и с.

Определение 14. Самое маленькое из всех общих кратных натуральных чисел b и с называется наименьшим общим кратным b и с и обозначается НОК (b, c). Примеры. НОК (3, 5) = 15, НОК (4, 6) = 12, НОК (36, 64) = 576, НОК (2, 8) = 8, НОК (а, а) = а, НОК (1, а) = а.
Слайд 18

Определение 14. Самое маленькое из всех общих кратных натуральных чисел b и с называется наименьшим общим кратным b и с и обозначается НОК (b, c). Примеры. НОК (3, 5) = 15, НОК (4, 6) = 12, НОК (36, 64) = 576, НОК (2, 8) = 8, НОК (а, а) = а, НОК (1, а) = а.

Теорема 15. Пусть Число является НОК (b, с) в том и только в том случае, когда αi = max (βi,γi), i = 1, 2, 3, …, n
Слайд 19

Теорема 15. Пусть Число является НОК (b, с) в том и только в том случае, когда αi = max (βi,γi), i = 1, 2, 3, …, n

Следствие 16. Любое общее кратное чисел b и с делится на НОК(b, с). Лемма 17. Для любых чисел х, у max (x, y) + min (x, y) = x + y.
Слайд 20

Следствие 16. Любое общее кратное чисел b и с делится на НОК(b, с). Лемма 17. Для любых чисел х, у max (x, y) + min (x, y) = x + y.

Доказательство. Рассмотрим три случая: 1) х = у, тогда max (x, y) = x, min (x, y) = x, поэтому max (x, y) + min (x, y) = 2 x и х + у = 2х ; 2) х > у, тогда max (x, y) = x, min (x, y) = y, следовательно max (x, y) + min (x, y) = x + y ; 3) x < y, тогда max (x, y) = y, min (x, y) = x, поэтому ma
Слайд 21

Доказательство. Рассмотрим три случая: 1) х = у, тогда max (x, y) = x, min (x, y) = x, поэтому max (x, y) + min (x, y) = 2 x и х + у = 2х ; 2) х > у, тогда max (x, y) = x, min (x, y) = y, следовательно max (x, y) + min (x, y) = x + y ; 3) x < y, тогда max (x, y) = y, min (x, y) = x, поэтому max (x, y)+ min (x, y) = y + x = x + y.

Теорема 18. Для любых натуральных чисел b и с НОД (b, с) · НОК (b, с) = b · c. Доказательство. Пусть и Тогда
Слайд 22

Теорема 18. Для любых натуральных чисел b и с НОД (b, с) · НОК (b, с) = b · c. Доказательство. Пусть и Тогда

НОД(b,c)*НОК(b,c) = = =
Слайд 23

НОД(b,c)*НОК(b,c) = = =

Определение 19. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД (а, b) = 1. Другими словами, если а и b не имеют общих делителей, отличных от 1. Примеры. 3, 8 – взаимно просты, 1, 5 взаимно просты, 4, 6 – не взаимно просты.
Слайд 24

Определение 19. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД (а, b) = 1. Другими словами, если а и b не имеют общих делителей, отличных от 1. Примеры. 3, 8 – взаимно просты, 1, 5 взаимно просты, 4, 6 – не взаимно просты.

Определение 20. Функцией Эйлера φ (n) называется количество чисел меньших, либо равных n, которые взаимно просты с n. Примеры. 1) φ (12) = 4. Перечислим все числа ≤ 12 и взаимно простые с 12: 1,5, 7, 11; 2) φ(36) = 12. Перечислим все необходимые числа: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35; 3)
Слайд 25

Определение 20. Функцией Эйлера φ (n) называется количество чисел меньших, либо равных n, которые взаимно просты с n. Примеры. 1) φ (12) = 4. Перечислим все числа ≤ 12 и взаимно простые с 12: 1,5, 7, 11; 2) φ(36) = 12. Перечислим все необходимые числа: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35; 3) φ(7) = 6.

Теорема 21. Пусть n = , причем αi > 0 и ki kj (i j), i ,j= 1, 2, …, n. Тогда
Слайд 26

Теорема 21. Пусть n = , причем αi > 0 и ki kj (i j), i ,j= 1, 2, …, n. Тогда

Примеры. 1) n=56=2371, (56) = 56(1- )(1- ) = 4 1 6 = 24; 2) n=16=24 , (16) = 16(1- ) = 8; 3) (11) =11(1- ) = 10.
Слайд 27

Примеры. 1) n=56=2371, (56) = 56(1- )(1- ) = 4 1 6 = 24; 2) n=16=24 , (16) = 16(1- ) = 8; 3) (11) =11(1- ) = 10.

Список похожих презентаций

Решение тригонометрических уравнений. Некоторые способы отбора корней

Решение тригонометрических уравнений. Некоторые способы отбора корней

№1. Расставьте знаки тригонометрических функций в зависимости от координатной четверти. Знаки синуса Знаки косинуса. Знаки тангенса и котангенса. ...
Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики

Введение в комбинаторику. Разработка уроков для7класса. Работа выполнена учителем математики высшей категории Вашкевич Татьяной Сергеевной. Основная ...
Практические приложения подобия треугольников

Практические приложения подобия треугольников

Аннотация В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с различными проявлениями подобия, однако подобие в обыденном смысле и с математической ...
Основы комбинаторики

Основы комбинаторики

Правило произведения Пусть объект а1 можно выбрать n1, различными способами, после каждого выбора объекта а1 объект а2 можно выбрать n2 различными ...
Понятие комбинаторики

Понятие комбинаторики

. Цели и задачи. Знакомство с новым разделом математики Рассмотреть все тонкости этого раздела Научиться решать задачи по комбинаторике. Комбинаторика ...
Основные понятия комбинаторики

Основные понятия комбинаторики

Содержание. Введение Понятия Правила Задачи Факториал Задачи. Введение. Комбинаторика очень важна в нашей жизни, потому что она имеет широкий спектр ...
Основные принципы комбинаторики

Основные принципы комбинаторики

Комбинаторика. Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества ...
Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Математический диктант. 1. Вставьте пропущенное слово:. а) Прямой угол – это угол равный … б) Сумма углов в любом треугольнике равна …. 2. Укажите ...
Некоторые следствия из аксиом

Некоторые следствия из аксиом

А В С Д Р Е К М А1 В1 С1 Д1 Q P R. 2) №1 (в,г); 2(б,д). Назовите по рисунку:. в) точки, лежащие в плоскостях АДВ и ДВС; г) прямые по которым пересекаются ...
Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

ЗАДАЧИ УРОКА. РАССМОТРЕТЬ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СТОРОНЫ ...
Некоторые применения теоремы Пифагора

Некоторые применения теоремы Пифагора

Ниже будем использовать следующие обозначения: катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC соответственно a, b и c ; sin A = a / c, sin B ...
Некоторые приёмы устных вычислений

Некоторые приёмы устных вычислений

Картина «Устный счёт» Николай Петрович Богданов–Бельский. ? 44 + 12 = (40 + 4) + (10 + 2) = =(40 + 10) + (4 + 2) = 50 + 6 = 56 77 + 45 = 77 + 40 + ...
Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики

Принцип произведения комбинаций. N = n1 ∙ n2 ∙ … ∙ nk. Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа содержит ni элементов, 1 ≤ i ≤ k. Выберем ...
Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Сочетания и размещения. Часть I

Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Сочетания и размещения. Часть I

Содержание. Введение Пример 1. Учительница подготовила к контрольной работе… Решения: 1.а)    1.б) 1.в) 1.г) Пример 2. Известно, что х = 2аЗb5с и а, ...
Квадратный трёхчлен и его приложения

Квадратный трёхчлен и его приложения

Об авторе. Учитель математики первой категории Мальцева Надежда Геннадьевна. Пояснительная записка. Данный курс «квадратный трехчлен и его приложения» ...
Методика изучения элементов комбинаторики в условиях профильного обучения математике

Методика изучения элементов комбинаторики в условиях профильного обучения математике

Содержание. Введение Глава 1. Цели изучения стохастической линии в школе 1) Из истории комбинаторики 2) Цели изучения стохастики в школе Глава 2. ...
Куда пропала математика?

Куда пропала математика?

Замочек №1. Задача 1. Часто знает и дошкольник, Что такое треугольник. А уж вам-то как не знать! Но совсем другое дело: Очень быстро и умело Треугольники ...
Интересная математика

Интересная математика

Франция Герб Франции Флаг Франции. . Страна граничит с 8 странами: Италией, Испанией, Бельгией, Люксембургом, Германией, Швейцарией, Монако и Андоррой. ...
Конкурсный урок математика

Конкурсный урок математика

У Ромы не «3», а у Лены не «3» и не «5». Кто какую отметку получил? Проверь себя! 4 5. Запомни! . . Какую из этих схем составила Таня? I способ: 90 ...

Конспекты

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности

Урок-соревнование. по разделу. «Решение задач по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности». г.Новороссийск, ...
Практические приложения производной

Практические приложения производной

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. средняя общеобразовательная школа № 22. с углубленным изучением отдельных предметов. ...
Умножение положительных и отрицательных чисел. Некоторые экологические проблемы города вокруг нашей школы

Умножение положительных и отрицательных чисел. Некоторые экологические проблемы города вокруг нашей школы

. ФИО Фадина Светлана Николаевна, Фонская Ирина Сергеевна. Место работы МБОУ СОШ № 2 г. Конаково Тверской области. . . . Должность учитель ...
Площади параллелограмма и треугольника, приложения для нахождения площадей различных фигур

Площади параллелограмма и треугольника, приложения для нахождения площадей различных фигур

Дата. . Тема:. Площади параллелограмма и треугольника, приложения для нахождения площадей различных фигур. Цель:. познакомиться с формулой Пика ...
Практические приложения подобия треугольников

Практические приложения подобия треугольников

Муниципальное образовательное учреждение. . «Морская кадетская школа им. адмирала Котова П. Г.». Урок по геометрии (8 кл.). Тема: «Практические ...
Некоторые следствия из аксиом стереометрии

Некоторые следствия из аксиом стереометрии

Государственное образовательное учреждение. . начального профессионального образования. «Профессиональное училище №5» г. Белгорода. ...
Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Решение задач

Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Решение задач

Тема урока. : «Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Решение задач». Цель:. расширить знания учащихся о прямоугольных треугольниках. ...
Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

«Некоторые свойства прямоугольных треугольников». . . Цели урока:. рассмотреть некоторые свойства прямоугольного треугольника и показать, как они ...
Логарифмическая функция и ее приложения

Логарифмическая функция и ее приложения

Урок математики для физико-математического профиля. . 10- 11 класса. . . Тема: «Логарифмическая функция и ее приложения». . Цели урока:. ...
Логарифмическая функция и её приложения

Логарифмическая функция и её приложения

Тема урока. «Логарифмическая функция и её приложения». Цель урока: * расширить представление учащихся о логарифмической. функции, применении ...

Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

  1. Постарайтесь вовлечь аудиторию в рассказ, настройте взаимодействие с аудиторией с помощью наводящих вопросов, игровой части, не бойтесь пошутить и искренне улыбнуться (где это уместно).
  2. Старайтесь объяснять слайд своими словами, добавлять дополнительные интересные факты, не нужно просто читать информацию со слайдов, ее аудитория может прочитать и сама.
  3. Не нужно перегружать слайды Вашего проекта текстовыми блоками, больше иллюстраций и минимум текста позволят лучше донести информацию и привлечь внимание. На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно.
  4. Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.
  5. Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.
  6. Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.
  7. Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.
  8. Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.

Информация о презентации

Ваша оценка: Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:9 июля 2019
Категория:Математика
Содержит:27 слайд(ов)
Поделись с друзьями:
Скачать презентацию
Смотреть советы по подготовке презентации