Презентация "Основные понятия комбинаторики" по математике – проект, доклад

Самостоятельная работа №12

Тема: «Основные понятия комбинаторики». Выполнил: Абдилов Алымбек Группа: ТОБ 1-1

Содержание

Введение Понятия Правила Задачи Факториал Задачи

Введение

Комбинаторика очень важна в нашей жизни, потому что она имеет широкий спектр применения в различных областях знаний(например в генетике, информатике, статистической физике). Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений. Основные понятия и свойства комбинаторики мы рассмотрим далее…

ПОНЯТИЯ

Комбинаторика—математический раздел, изучающий вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества. Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n. Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел. Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Правило сложения (правило «или») — одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.

Пример 1 Выбрать книгу или диск из 10 книг и 12 дисков можно 10 + 12 = 22 способами. Пример 2 Пусть требуется найти количество слов, составленных не более, чем из 3 букв алфавита {a, b, c, d}. Т.к. слово может состоять из одной буквы или из двух или из трёх букв, то соответствующие количества складываются. По правилу умножения количество n-буквенных слов равно 4n. Тогда ответ на первоначальный вопрос будет 41 + 42 + 43 = 84.

Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами.

Пример 6. Сколько существует двузначных чисел? Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то А = {1, 2, ..., 9}, В = {0, 1, 2, ..., 9} и

Примерами комбинаторных задач являются: Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения? Сколько существует функций F из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям? ЗАДАЧА №1: Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт? Ответ: 52! (52 факториал), то есть, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8,0658 × 1067.

ЗАДАЧА №2 При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати? Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Факториал—произведение всех натуральных чисел начиная с 1 заканчивая n! Pn=n! n!=1*2*3*4*5……..n

1!=1 Удобная формула: n!=(n-1)!*n 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720 7!=5040

Задача №3

В соревнованиях участвовало 4 команды. Сколько распределения мест между ними возможно? Решение: 4!=1*2*3*4=24 Ответ: 24

Задача №4 У людоеда в подвале томятся 25 пленников. а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин? б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение: а) На завтрак людоед может предпочесть любого из 25 человек, на обед - любого из 24 оставшихся, а на ужин - кого-то из 23 оставшихся счастливчиков. Всего получаем 25*24*23 = 13800 способов. б) Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали 3*2*1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число 13800/6 = 2300. Ответ: а)13800 б)2300

Задача №5

На пустую шашечную доску надо поместить две шашки разного цвета. Сколько различных положений могут они занимать на доске? Решение: Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое-либо из прочих 63 полей. Значит к каждому из 64 положений первой шашки можно присоединить 63 положения второй шашки. Отсюда общее число различных положений двух шашек на доске: 64 х 63 = 4032. Ответ: 4032

Список литературы Большая школьная энциклопедия стр. 45-157 http://www.smekalka.pp.ru

Спасибо за внимание!!!