Презентация "Виртуозное извлечение корней вісоких степеней" по математике – проект, доклад

ВИРТУОЗНОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЕЙ «Величие человека – в его способности мыслить» Блез Паскаль

Автор работы: Лобанов Алексей ученик 8 класса МОУ «СОШ с. Дмитриевка Духовницкого района Саратовской области»

а) извлечение кубического корня (кубы чисел от 1 до 10)

Последняя цифра куба числа совпадает с числом, возведенным в куб, для оснований степени 1, 4, 5, 6, 9 и равна разности числа 10 и числа, возведенного в куб, для остальных оснований: 2, 3, 7, 8. Первую цифру результата извлечения кубического корня находим следующим образом: отбросим последние три цифры задуманного числа и рассмотрим оставшееся число – между кубами каких чисел оно располагается в таблице кубов. Меньшее из них и дает первую цифру искомого числа.

Пример 1. Требуется извлечь .

Решение. Так как последняя цифра задуманного числа 7 и 10 – 7 = 3, то 3 последняя цифра искомого числа. Отбрасывая три последние цифры задуманного числа, получи число 389; оно располагается в таблице кубов между кубами чисел 7 и 8. Меньшее из этих чисел и есть первая цифра искомого числа. Ответ: 73.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Так как последняя цифра подкоренного числа 6, то и последняя цифра искомого числа 6. Отбрасывая последние три цифры заданного числа, получим 636; это число располагается между кубами 8 и 9. Меньшее – 8. Ответ: 86

Для извлечения кубического корня из чисел свыше 1 млн. нужно держать в памяти ( или на «шпаргалке») кубы чисел от 11 до 20.

Пример 3. Вычислить Решение. Так как последняя цифра задуманного числа 7 и 10 – 7 = 3, то 3 последняя цифра искомого числа. Отбрасывая три последние цифры задуманного числа, получи число 1 860, которое располагается в таблице кубов между кубами чисел 12 и 13. Меньшее из этих чисел (12) и есть первые две цифры искомого числа. Ответ: 123

Задание для самостоятельно решения.

Проверь степень собственной виртуозности в извлечении кубических корней: 1) 2)

б) извлечение корня пятой степени: (Пятые степени чисел от 1 до 10)

Подмечаем свойство: последняя цифра пятой степени числа совпадает с основанием степени. Первую цифру искомого результата извлечения корня пятой степени находим следующим образом: отбросим последние пять цифр заданной пятой степени числа и рассмотрим оставшееся число – между какими числами в таблице пятых степеней оно располагается. Меньшее из соответствующих оснований степени покажет первую цифру искомого числа.

Пример 1. Извлечь

Последняя цифра искомого результата 9. Отбрасываем последние пять цифр заданного числа, остается число 24, которое располагается в таблице между пятыми степенями чисел 1 и 2. Значит 1 – первая цифра результата. Ответ: 19

Пример 2. Вычислить

Последняя цифра результата 5. Отбрасываем последние пять цифр заданного числа, остается число 97, которое располагается в таблице между пятыми степенями чисел 2 и 3. Ответ: 25

Проверь быстроту извлечения корней: 1) 2) 3)

в) извлечение корня седьмой степени: (Седьмые степени чисел от 1 до 10)

Подмечаем, что все цифры, на которые могут оканчиваться седьмые степени, различны. Последняя цифра седьмой степени совпадает с числом, возведенным в седьмую степень, для оснований степени 1, 4, 5, 6, 9 ( как и у кубов) и равна разности числа 10 и числа, возведенного в седьмую степень, для остальных оснований: 2, 3, 7, 8 (то же, как у кубов)

Решение. Последняя цифра заданного числа 7; так как 10 – 7 = 3, то 3 – последняя цифра искомого числа. Найдем первую цифру корня: зачеркиваем последние семь цифр заданного числа, останется число 340, которое располагается в таблице между седьмыми степенями чисел 2 и 3. Меньшее из них (2) дает первую цифру искомого числа. Ответ: 23.

Вычислить быстро

Пример 2. Решение. Последняя цифра искомого корня 4. Отбросим последние семь цифр заданного числа, останется число 133 892, которое располагается в таблице между седьмыми степенями чисел 5 и 6. Меньшее – 5. Ответ: 54

Пример 3. Решение. Последняя цифра искомого корня 9. Первую цифру находим по числу 9 320 653 из таблицы: 9. Ответ: 99

г) извлечение корня девятой степени (Девятые степени чисел от 1 до 10)

Видим, что последняя цифра девятой степени совпадает с цифрой основания степени (как у пятых степеней) Первую цифру корня девятой степени находим следующим образом: отбросим последние девять цифр задуманного числа и рассмотрим оставшееся число – между какими числами оно располагается в таблице девятых степеней. Меньшее из соответствующих оснований степени укажите первую цифру искомого числа.

Пример 1: Решение. Последняя цифра искомого числа 3. Первая цифра 3, так как число 46 411 располагается в таблице между девятыми степенями чисел 3 и 4. Ответ: 33.

Пример 2: Решение. Последняя цифра – 9, и первая – 9. Ответ: 99.

ВИРТУОЗНОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЕЙ.

Каждому доступно быстро и точно или грубо-приближенное извлечение корня высокой степени (m) из целого числа с большим количеством (n) цифр. Способ прост: надо отношение считать логарифмом искомого числа и по таблице логарифмов найти его. Если , то практически достаточна следующая таблица десятичных логарифмов:

Таблица логарифмов

Вычислить

Пример 1. Решение. Количество цифр (25)числа делим на показатель корня (51), получаем 0,49. это число находится в таблице между 0,48 и 0,60. Более близким значением является 0,48. Это lg 3. Значит искомое число 3. Ответ: 3

Пример 2. Извлечь корень 65 – ой степени из 20- значного числа 36 893 488 147 419 103 232. Решение. Делим 20 на 65, получается 0,31≈ lg2. Ответ: искомое число 2.

Извлечь корень 32 – й степени из 38 – значного числа 43 144 141 785 116 080 641 825 668 495 361 328 125. Решение. Делим 38 на 32, получаемся приблизительно 1,187. В таблице логарифмов 1,18 Пример 3.

Пример 4.

Решение. Вычислить приближенно , где k – 49-значное число. Решаем: 49:47≈1,043. В таблице логарифмов 1,04

Используемые ресурсы

Ф.Ф.Нагибин, Е.Н.Канин. Математическая шкатулка. Б.А.Кордемский, А.А.Ахадов.Удивительный мир чисел Н.Я.Виленкин, Л.П.Шибасов, З.Ф.Шибасова. За страницами учебника математики