Презентация "Отбор корней в тригонометрических уравнениях" по математике – проект, доклад

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

Расскажем, как можно решить такую проблему. Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности.

Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями.

Рассмотрим пример : 21k - 24n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

Покажем, как искать решения.

Решим уравнение 166n - 44k = 6.

Для начала поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3.

Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную:

3. Выделим в этой дроби целую часть:

Обозначим , или 17 n – 3 = 22t. Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

6. Обозначим , или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

7. Обозначим , или 5v = 2s – 3. Выразим s через v:

Обозначим , или v = 2u – 3.

Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t, k через n.

10. Отправимся в обратный путь:

v = 2u – 3

Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27, где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166n для некоторого n∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊ Z .

Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется

алгоритмом Евклида.

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π(a+bn) и π(c+dk), где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения.

Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d.

Решаем вторым способ уравнение(1)-на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов.

Например, решить уравнения: а) б)

в) если НОД (u,v) больше 1, то (1) не имеет решений;

б) если НОД (u, v) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀) уравнения (2), т.е. такую пару целых чисел (n₀, k₀), для которых выполняется равенство un₀ + vk₀ = w ;

г) запишем решение уравнения (1) в виде: или

а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u, v, w – фиксированные целые числа и их НОД (u, v, w ) = 1;

Изложим общие этапы решения уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1):

Пример 1. Решить в целых числах уравнение

Решение. Приведем это уравнение к виду (2): -12n + 5k = 3. Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z.

Ответ: n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z.

Пример 2. Решить в целых числах уравнение

Решение. Приведем это уравнение к виду (2): 6n - 40k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет.

Ответ: нет решений.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Объединить семейства значений.

Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности.

Тогда ответ можно записать более компактно: x2

Отметим на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками, (где x1 и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

x1= , x2= Решение. I способ.

Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися. а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков:

Пример 2. Объединить семейства значений.

Решим относительно k. Получим , при n=4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся.

Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение

2 способ. Аналитическое решение.

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π.

В таких случаях удобнее применять аналитический способ.

Пример:

Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πk имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z.

Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊ Z или x=π+6πm, x=3π+6πm, m ∊ Z.

Пусть π+2πk=3πn; 1+2k=3n. Отсюда k=(3n-1):2 = (2n+n-1):2 = n+(n-1):2. Пусть m=(n-1):2. Тогда 2m=n-1. Отсюда n=2m+1. Следовательно k=(3(2m+1)-1):2=(6m+3-1):2=3m+1.

Итак, посторонние корни в серии x=π+2πk будут при k=3m+1,m∊ Z.

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:

Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

Спасибо за внимание!