- Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Презентация "Отбор корней в тригонометрических уравнениях" по математике – проект, доклад

Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Слайд 15
Слайд 16

Презентацию на тему "Отбор корней в тригонометрических уравнениях" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 16 слайд(ов).

Слайды презентации

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ. Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.
Слайд 1

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

Расскажем, как можно решить такую проблему. Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеет
Слайд 2

Расскажем, как можно решить такую проблему. Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности.

Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями.

Рассмотрим пример : 21k - 24n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную: 3. Выделим в этой дроби целую часть: Обо
Слайд 3

Покажем, как искать решения.

Решим уравнение 166n - 44k = 6.

Для начала поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3.

Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную:

3. Выделим в этой дроби целую часть:

Обозначим , или 17 n – 3 = 22t. Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть: 6. Обозначим , или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через
Слайд 4

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

6. Обозначим , или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

7. Обозначим , или 5v = 2s – 3. Выразим s через v:

Обозначим , или v = 2u – 3. Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t, k через n. 10. Отправимся в обратный путь: v = 2u – 3
Слайд 5

Обозначим , или v = 2u – 3.

Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t, k через n.

10. Отправимся в обратный путь:

v = 2u – 3

Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27, где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166n для некоторого n∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊ Z . Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентам
Слайд 6

Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27, где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166n для некоторого n∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊ Z .

Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется

алгоритмом Евклида.

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π(a+bn) и π(c+dk), где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения. Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений урав
Слайд 7

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π(a+bn) и π(c+dk), где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения.

Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d.

Решаем вторым способ уравнение(1)-на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов.

Например, решить уравнения: а) б)

в) если НОД (u,v) больше 1, то (1) не имеет решений; б) если НОД (u, v) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀) уравнения (2), т.е. такую пару целых чисел (n₀, k₀), для которых выполняется равенство un₀ + vk₀ = w ; г) запишем решение уравнения (1) в виде: или. а) уравне
Слайд 8

в) если НОД (u,v) больше 1, то (1) не имеет решений;

б) если НОД (u, v) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀) уравнения (2), т.е. такую пару целых чисел (n₀, k₀), для которых выполняется равенство un₀ + vk₀ = w ;

г) запишем решение уравнения (1) в виде: или

а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u, v, w – фиксированные целые числа и их НОД (u, v, w ) = 1;

Изложим общие этапы решения уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1):

Пример 1. Решить в целых числах уравнение. Решение. Приведем это уравнение к виду (2): -12n + 5k = 3. Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z. Ответ: n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z. Пример 2. Решить в целых числах уравнение. Решение.
Слайд 9

Пример 1. Решить в целых числах уравнение

Решение. Приведем это уравнение к виду (2): -12n + 5k = 3. Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z.

Ответ: n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z.

Пример 2. Решить в целых числах уравнение

Решение. Приведем это уравнение к виду (2): 6n - 40k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет.

Ответ: нет решений.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Объединить семейства значений. Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности. Тогда ответ можно записать более компактно: x2. Отметим на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками, (где x1 и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которы
Слайд 10

Пример 1. Объединить семейства значений.

Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности.

Тогда ответ можно записать более компактно: x2

Отметим на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками, (где x1 и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

x1= , x2= Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися. а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков: Пример 2. Объединить семейс
Слайд 11

x1= , x2= Решение. I способ.

Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися. а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков:

Пример 2. Объединить семейства значений.

Решим относительно k. Получим , при n=4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся. Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение. 2 способ. Аналитическое решение.
Слайд 12

Решим относительно k. Получим , при n=4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся.

Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение

2 способ. Аналитическое решение.

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π. В таких случаях удобнее применять аналитический способ. Пример: Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пер
Слайд 13

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π.

В таких случаях удобнее применять аналитический способ.

Пример:

Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πk имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z. Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊ Z или x=π+6πm, x=3π+6πm, m ∊ Z. Пусть π+2πk=3πn; 1+2k=3n. О
Слайд 14

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πk имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z.

Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊ Z или x=π+6πm, x=3π+6πm, m ∊ Z.

Пусть π+2πk=3πn; 1+2k=3n. Отсюда k=(3n-1):2 = (2n+n-1):2 = n+(n-1):2. Пусть m=(n-1):2. Тогда 2m=n-1. Отсюда n=2m+1. Следовательно k=(3(2m+1)-1):2=(6m+3-1):2=3m+1.

Итак, посторонние корни в серии x=π+2πk будут при k=3m+1,m∊ Z.

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА: Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если
Слайд 15

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:

Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

Спасибо за внимание!
Слайд 16

Спасибо за внимание!

Список похожих презентаций

В лабиринте тригонометрических формул

В лабиринте тригонометрических формул

Кот в мешке. В какой четверти лежит угол α, если выполняется условие sinα>0, cosα0, tgα. Достань свою звезду. Выведи формулу sin2α cos2α tg2α ctg2α ...
Арифметические действия в двоичной системе счисления

Арифметические действия в двоичной системе счисления

ЗАДАНИЕ «ТЕЗИСЫ». Верно ли каждое из следующих утверждений? Если «Да», то записывайте 1. Если «Нет», то записывайте 0. В результате должно получиться ...
Арифметические действия в двоичной системе счисления

Арифметические действия в двоичной системе счисления

Самостоятельная работа. Вариант I Вариант II. Выполнить действия в двоичной системе счисления:. 1) 101012 + 1012 2) 101012 + 10102 3) 1000012 – 1102 ...
Арифметическая прогрессия в древности

Арифметическая прогрессия в древности

Египетские папирусы и вавилонские клинописные таблички, относящие ко II тыс. до н.э., содержат примеры задач на арифметическую прогрессию. Каких-либо ...
"Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

"Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия». Дьердье Пойа, венгерский математик. ...
Бумажные складные модели и их использование на уроках геометрии в 10 классе

Бумажные складные модели и их использование на уроках геометрии в 10 классе

Модель 1 – «Две пересекающиеся плоскости». Согнутый пополам лист бумаги служит моделью двух пересекающихся плоскостей. Линия сгиба – прямая их пересечения. ...
Биссектриса угла в треугольнике

Биссектриса угла в треугольнике

Задачи УЧЕБНИК А О В С D 80º ? 180º- 80º= 100º 100º Ответ:155º, 25º, 155º. Задача №535 биссектриса ? Определение. Биссектриса угла – это луч с началом ...
Бийская крепость в цифрах и фактах

Бийская крепость в цифрах и фактах

Бийская крепость в цифрах и фактах. Цели урока:. Познакомиться с историей возникновения родного города Научиться определять временные промежутки и ...
5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Теорема:. Для того чтобы дифференцировать выражение , где и определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные ...
«Симметрия в пространстве» геометрия

«Симметрия в пространстве» геометрия

Что такое симметрия? Симметрия в переводе с греческого означает соразмерность. Под симметрией принято понимать свойство геометрической фигуры, расположенной ...
«Математика в профессиях»

«Математика в профессиях»

Ознакомление с типами профессий и характеристиками труда. Исследование значения математики в различных областях деятельности человека. Развитие познавательной ...
«Закрепление изученого» (Сложение и вычитание с переходом через десяток в пределах 20)

«Закрепление изученого» (Сложение и вычитание с переходом через десяток в пределах 20)

Цели урока:. 1. Закрепить знания о сложении и вычитании с переходом через десяток в приделах 20. 2. Упражняться в решении задач изученных видов. План ...
"Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби".

"Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби".

Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби. 02.03. Определите координаты точек А, В, С и М. ...
"Симметрия в архитектуре Старого Оскола"

"Симметрия в архитектуре Старого Оскола"

Остановка 1. Главная улица города – улица Ленина. Мы находимся в центре нашего города у здания администрации. Какие приемы использовал архитектор, ...
Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Ответьте на вопросы:. Какие системы называются НЕПОЗИЦИОННЫМИ? Какие системы называются ПОЗИЦИОННЫМИ? Какое число называют – ОСНОВАНИЕ позиционной ...
Без математики, друзья, в жизни нам никак нельзя

Без математики, друзья, в жизни нам никак нельзя

Актуальность. Математика находится в тесной связи со всеми естественными, гуманитарными, точными науками и др., математические знания применяются ...
Алгебра в 9 классе.

Алгебра в 9 классе.

Функция их свойства и графики. Сформулируйте определение чётной функции, определение нечётной функции. Не является ни чётной, ни нечётной. чётная ...
Биография М.В. Ломоносова в цифрах

Биография М.В. Ломоносова в цифрах

=2 =0,3 =3,6 =0,04 =1 =0,8 =0,42 =21,2 М И Ш А Н С К О Е. Ломоносов Родился в с. Мишанинском Архангельской губернии. 8 ноября 1711. Длина = 15,5 м ...
Алгебраические кривые в полярной системе координат и их применение в природе и технике

Алгебраические кривые в полярной системе координат и их применение в природе и технике

Цель: познакомиться с кривыми, не изучаемыми в школьном курсе алгебры, найти для них примеры в природе и технике. Локон Аньези. плоская кривая, геометрическое ...
Больше в несколько раз, меньше в несколько раз

Больше в несколько раз, меньше в несколько раз

ЦЕЛЬ УРОКА. раскрытие смысла слов “больше (меньше) в несколько раз”. Расположите числа в порядке возрастания. 18, 9, 45, 27, 36, 72, 54, 63, 9, 18, ...

Конспекты

Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях

Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях». Цели и задачи урока:. . . повторение ...
Арифметический способ отбора корней

Арифметический способ отбора корней

План - конспект. Тема урока:. Арифметический способ отбора корней. Продолжительность урока:. 45 минут. Место проведения:. МКОУ Маломинусинская ...
Виды углов в планиметрии

Виды углов в планиметрии

Лабораторно-практические занятия по геометрии в 7 классе. Лабораторно-практические занятия имеют важное значение, особенно при обучении детей с ...
Видеть и слышать, или как не потеряться в мире информации

Видеть и слышать, или как не потеряться в мире информации

Конспект – сценарий урока, разработанного учителями МОУ Брызгаловская СОШ Ивановой Е.Б. и Колпаковой Л.В. Тема: «Видеть и слышать, или как не потеряться ...
Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

9 класс. Тема: Введение в теорию вероятностей.(90 мин.). Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, ...
Бородинское сражение в математических задачах

Бородинское сражение в математических задачах

Открытый урок «Бородинское сражение в математических задачах». Карташова Ирина Викторовна , учитель математики МБОУ «Бирюковская СОШ». Техническое ...
Большие и малые числа в химии

Большие и малые числа в химии

МКОУ «Средняя общеобразовательная школва №5. . города Ершова Саратовской области». . Бинарный урок. Большие и малые числа в химии. Провели ...
I признак равенства треугольников в задачах

I признак равенства треугольников в задачах

ТЕМА УРОКА:. I. признак равенства треугольников в задачах. ТИП УРОКА. : закрепление изученного материала. КОНТИНГЕНТ УЧАЩИХСЯ:. 7 класс. ...
+ двухзначных и однозначных чисел в пределах 100

+ двухзначных и однозначных чисел в пределах 100

УРОК МАТЕМАТИКИ. Тема:. + двухзначных и однозначных чисел в пределах 100 (урок обобщения). Цель:. Создание условий для формирования УУД при ...

Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

  1. Постарайтесь вовлечь аудиторию в рассказ, настройте взаимодействие с аудиторией с помощью наводящих вопросов, игровой части, не бойтесь пошутить и искренне улыбнуться (где это уместно).
  2. Старайтесь объяснять слайд своими словами, добавлять дополнительные интересные факты, не нужно просто читать информацию со слайдов, ее аудитория может прочитать и сама.
  3. Не нужно перегружать слайды Вашего проекта текстовыми блоками, больше иллюстраций и минимум текста позволят лучше донести информацию и привлечь внимание. На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно.
  4. Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.
  5. Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.
  6. Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.
  7. Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.
  8. Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.

Информация о презентации

Ваша оценка: Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:28 января 2019
Категория:Математика
Содержит:16 слайд(ов)
Поделись с друзьями:
Скачать презентацию
Смотреть советы по подготовке презентации