» » » Комплексные числа

Презентация на тему Комплексные числа

Презентацию на тему Комплексные числа можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет презентации : Математика. Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 28 слайдов.

скачать презентацию

Слайды презентации

Слайд 1: Презентация Комплексные числа
Слайд 1

Множество комплексных чисел.

Слайд 2: Презентация Комплексные числа
Слайд 2

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z) Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b) Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

Слайд 3: Презентация Комплексные числа
Слайд 3

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d. Комплексное число a-bi называется комплексно сопряженным с числом a+bi и обозначается через = a-bi Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

Слайд 4: Презентация Комплексные числа
Слайд 4

Арифметические операции над комплексными числами Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число (a+c; b+d). Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z z = w + u.

Слайд 5: Презентация Комплексные числа
Слайд 5

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют комплексное число (ac – bd; ad + bc) Частным от деления z на w называют число u, равное:

u
Слайд 6: Презентация Комплексные числа
Слайд 6

Нахождение степеней числа i

Если показатель степени i делится на 4, то значение степени равно 1, если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.

Слайд 7: Презентация Комплексные числа
Слайд 7

Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216 ,4)i137 Решение: 1) i66 66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i66=-1 2)i143 143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i 3)i216 216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1 4)i137 137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i

Слайд 8: Презентация Комплексные числа
Слайд 8

Пример 1 Вычислить:

Слайд 9: Презентация Комплексные числа
Слайд 9

Геометрический смысл комплексного числа Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один и только один вектор с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi

y x M(a;b) 0 b a
Слайд 10: Презентация Комплексные числа
Слайд 10

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ), где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

Слайд 11: Презентация Комплексные числа
Слайд 11

Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде: z = r(cosφ + isinφ), где - модуль, а φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

Слайд 12: Презентация Комплексные числа
Слайд 12

Пример2. Записать в тригонометрической форме: Сначала находим модуль числа: Далее, согласно формулам (*), имеем: Учитывая, что угол

Итак,
Слайд 13: Презентация Комплексные числа
Слайд 13

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

(1) (2)
Слайд 14: Презентация Комплексные числа
Слайд 14

Пример3. Выполнить действия: Используя формулу (1), находим:

Слайд 15: Презентация Комплексные числа
Слайд 15

При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень n модуль данного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени: формула Муавра

Слайд 16: Презентация Комплексные числа
Слайд 16

Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле :

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1
Слайд 17: Презентация Комплексные числа
Слайд 17

Пример4. Решить уравнение Корнями данного уравнения являются все значения Для числа - 4 имеем r =2, Согласно формуле(3), находим:

Если к = 0, то Если к = 1, то

Слайд 18: Презентация Комплексные числа
Слайд 18

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Если комплексному числу

, модуль которого равен 1, поставить в соответствие показанное выражение

, то получим соотношение

то получим соотношение которое называется формулой Эйлера. Любое комплексное число

можно записать в виде

. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Слайд 19: Презентация Комплексные числа
Слайд 19

Пример: Записать число в показательной форме. Решение: Здесь тогда показательная форма числа имеет вид .

Слайд 20: Презентация Комплексные числа
Слайд 20

Пример: Записать число в показательной форме.

Решение. Что бы представить число

в виде

нужно найти модуль и аргумент числа

Здесь тогда так как точка

лежит на мнимой оси комплексной плоскости.

Зная r и , получим
Слайд 21: Презентация Комплексные числа
Слайд 21

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме

Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями.

Так, для произведения и частного комплексных чисел

и

справедливы формулы

а для n-й степени комплексного числа используется

формула
Слайд 22: Презентация Комплексные числа
Слайд 22

Для вычисления корня из комплексного числа

используется формула

где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.

Слайд 23: Презентация Комплексные числа
Слайд 23

Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа

Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости

Определение. Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений. Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например,

f(z)=az+b (a, b – фиксированные комплексные числа)-однозначная функция; - однозначная функция

Слайд 24: Презентация Комплексные числа
Слайд 24

- n-значная функция; -бесконечнозначная функция. Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной .В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

Слайд 25: Презентация Комплексные числа
Слайд 25

Пример: Для функции найти Решение: Подставим в место z значение i в функцию Ответ: f(i)=1

Слайд 26: Презентация Комплексные числа
Слайд 26

Компоненты функции

Пусть дана функция , Представим z в алгебраической форме Значение f(x)-комплексное число,т.е. ,которое также можем представить в алгебраической форме ,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары(x,y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде ,где и -действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z),u- действительная компонента,v-мнимая компонента.Пишут :

Слайд 27: Презентация Комплексные числа
Слайд 27

Пример: Для функции Где найти ее действительную и мнимую часть. Решение: (x+iy)2+4i=x2+2ixy-y2+4i=(x2-y2)+(2xyi+4i)=(x2-y2)+i(2xy+4). Тогда действительная часть функции f(z) - x2-y2,а мнимая - 2xy+4.

Слайд 28: Презентация Комплексные числа
Слайд 28

Понятие непрерывности определяется аналогично действительному случаю. F(z)-непрерывна в точке Так как это определение формально совпадает с обычным ,то все свойства непрерывной функции комплексного аргумента совпадают дословно со свойствами действительных функций.

  • Яндекс.Метрика
  • Рейтинг@Mail.ru