Презентация "Комплексные числа и координатная плоскость" по математике – проект, доклад

Комплексные числа и координатная плоскость

Геометрической моделью множества С является координатная плоскость. Каждому комплексному числу r = а + bi можно естественным образом поставить в соответ­ствие точку (а; b) координатной плоскости. Тогда любому комп­лексному числу соответствует единственная точка на координат­ной плоскости, и наоборот, каждая точка плоскости является «изображением» единственного комплексного числа.

При таком соответствии действительному числу а = а + 0 • i соответствует точка (а; 0) с нулевой ординатой. Значит, действи­тельные числа изображаются точками оси абсцисс. Мнимой единице i = 0 + 1 • i соответствует точка (0; 1) на оси ординат, и вообще точками этой оси будут изображаться все чисто мнимые числа.

На рисунке отмечены на координатной плоскости комплексные числа: z1 = 2 + 3i, z2 = -4 + i, z3 = -4 - i, z4 = 5 - 2,5i.

На рисунке отмечены на координатной пло­скости некоторые действительные и чисто мнимые числа: 0, 5, -3,5, i, 3i, -2i.

То есть, для таким образом определенных суммы и произведения комплексных чисел верны сочетательный, переместитель­ный и распределительный законы. При этом пара (0; 0) будет нулем от­носительно сложения, а пара (1; 0) будет единицей относительно умно­жения комплексных чисел.

Пример 1. Изобразить на координатной плоскости мно­жество всех комплексных чи­сел, у которых: а) действительная часть рав­на -4; б) мнимая часть является четным однозначным натураль­ным числом; в) отношение мнимой части к действительной равно 2; г) сумма квадратов действи­тельной и мнимой частей рав­на 9.

Решение. а) Нас интере­суют комплексные числа z = х + yi, у которых х = -4. Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.

б) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi, у которых у = 2, 4, 6 или 8. Это множество состоит из четырех прямых, па­раллельных оси абсцисс.

в) Нас интересуют комплексные числа z = x + yi, у которых y/x = 2, или у - 2х, х ≠ 0. Это прямая, проходящая через начало координат, с выколотой точкой (0; 0)

г) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi, у которых х2 + у2 = 9. Это окружность радиусом 3 с центром в начале координат.

Любую точку на координатной плоскости можно воспринимать дво­яко: алгебраически, как упорядочен­ную пару (а; b) действительных чи­сел, и как вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (а; b). При векторном подходе к изображению комплексных чисел наглядный смысл получают операции сложения и вы­читания двух комплексных чисел: а) вектор, соответствующий сумме z1 + z2 двух комплексных чисел, ра­вен сумме векторов, соответ­ствующих числам z1 и z2; б) вектор, соответствующий разно­сти z1 - z2 двух комплексных чисел, равен разности векторов, соответ­ствующих числам z1 и z2.

а) вектор, соответствующий сумме z1 + z2 двух комплексных чисел, ра­вен сумме векторов, соответ­ствующих числам z1 и z2

б) вектор, соответствующий разно­сти z1 - z2 двух комплексных чисел, равен разности векторов, соответ­ствующих числам z1 и z2.

Точно так же дело обстоит и с умножением комплексных чи­сел на действительные числа: вектор, соответствующий произ­ведению k ∙ z действительного числа k на комплексное число z, равен произведению вектора, соответствующего числу z, на число k.

Пример 2. Для комплексных чисел z1 = 1 + i и z2 = -1 + 2i изобразить на координатной плоскости числа: а) 2z1; б) -3z2 ; в) z1+z2; г) 2z1 - z2.

Решение. а) 2z1;

б) -3z2

в) z1+z2;

г) 2z1 - z2.

Числа в заданиях можно найти по фор­мулам, а затем изобразить их на координатной плоскости. Иногда приведенные правила для сложения, вычитания ком­плексных чисел и умножения комплексных чисел на действитель­ные числа объединяют таким образом: во множестве комплекс­ных чисел операции сложения, вычитания и умножения на дей­ствительные числа производятся покоординатно. Подчеркнем, что сама эта формулировка предполагает операции уже не с самими комплексными числами, а с их геометрическими, векторными представениями.

В координатной плоскости яс­ный геометрический смысл имеет операция сопряжения (перехода к сопряженному числу). Действи­тельно, если изобразить комплекс­ные числа z = х + yiи ? =х - yiна координатной плоскости, то по­лучатся точки (х;у) и (х;-у) сим­метричные относительно оси абс­цисс.

Сопряженные друг другу комплексные числа равноудалены от начала координат, а вектора изображающие их, наклонены к оси абсцисс под одинаковыми углами, но расположены по разные стороны от этой оси. Сложим, например, «по правилу параллелограмма» ком­плексные числа z1 и z2, а затем отразим и их, и весь параллело­грамм симметрично относительно оси абсцисс. Полу­чим: z1 + z2 = z1 + z2 .

Итак, мы познакомились с геометрической моделью множе­ства С комплексных чисел и с тем, как в этой модели выглядят некоторые арифметические операции над комплексными числа­ми. Оказалось, что модель эта — привычная нам координатная плоскость, а операции в точности совпадают с векторными опера­циями сложения, вычитания и умножения на действительное число. Пока что ничего принципиально нового мы не увидели. Чтобы различать координатную плоскость саму по себе и коорди­натную плоскость как модель множества комплексных чисел, при­нято в последнем случае говорить о комплексной плоскости.