Конспект урока «Логарифм числа» по математике для 11 класса

Тема урока: Логарифм числа (2 ч).

Цели: закрепить знание основных свойств показательной функции и умение решать показательные уравнения;

Развивать представление о числе для этого ввести понятие логарифма числа, логарифмического тождества, в ходе выполнения упражнений формировать знание определения логарифма любого положительного числа по данному основанию и логарифмического тождества.

Ход урока.

1. Повторение изученного материала.

1. Результаты письменного зачета.

2. Решить на доске показательные уравнения из домашней работы, из зачета, вызвавшие затруднения у учащихся.

х х+1 х-1 х х 2х

4 = 32, 3 + 3 = 14, 4 - 5 2 + 6 = 0, 5 =-25.

3. Фронтальный опрос учащихся.(показ слайдов)

-Какая функция называется показательной?

-Какими свойствами обладает показательная функция?

-Какова ее область определения?

-Какова область значений функции?

-Какова показательная функция по монотонности?

-Возрастает или убывает функция:

x x 2x sin x

y = 5 , y = (1/2 ) , y = 3 , y = 2 .

-Сформулируйте теорему о корне. (п. 8).

Повторим решение показательных уравнений на конкретных примерах:

Как будете решать? (проверка с доски, обсуждение решений, постановка проблемы урока).

х х+1 х-1 х х 2х

4 = 32, 3 + 3 = 14, 4 - 5 2 + 6 = 0, 5 =-25.

2х 5 х 1 х -1 2х х

2 = 2 , 3 3 + 3 3 = 14, 2 - 5 2 + 6 = 0, Ответ: нет корн.

x

3 ( 3 + 1/3) = 14, 2 = t,

x 2

3 = 14 : 10/3, t - 5 t + 6 = 0,

x

3 = 4,2 , t =3, t = 2 ,

x x

2 = 3, 2 = 2,

t

Так как показательная функция у=(а ) возрастает (а>1) или убывает (0

Показательные уравнения при решении обычно сводят к простейшим и логарифмируют. Получить корни уравнений ребята не смогли… С этой трудностью вы справитесь , научитесь применять логарифмирование и узнаете что такое логарифм.

Итак, прежде чем ввести определение логарифма закончим решение уравнений.

Логарифмирование уравнения – это метод решения простейших показательных уравнений с помощью перехода к равносильному уравнению.

f(x)

Если b>0, a>0 , a#1, то a = b тогда и только тогда когда f(x) =log b.

f(x) g(x)

Если a>0, a#1, то a = b тогда и только тогда когда f(x) = g(x).

.

2х = 5 , х = log 4,2 , x = log 3, x = 1.

x =2,5. 3 2

Ответ: 2,5. Ответ: log 4,2. Ответ: 1; log 3.

3. 2

3. Изучение нового материала.

x

- По графику функции y = a ( 0aa # 1).

х

c

можно найти число a для любого действительного числа с.

Но этот же график дает возможность решить обратную задачу:

для данных положительных чисел b и a (a# 1) найти число с, такое, что

с

b = a .

для этого надо отметить на оси ОУ точку, имеющую координаты (0; b) и через нее провести прямую у = b параллельную оси ОХ. Она пересечет график функции

x

y = a в единственной точке М , абсцисса с точки М удовлетворяет условию

c

b = a .

М

Полученное таким образом число с единственное, удовлетворяющее этому условию.

Следовательно, для любого положительного числа b существует, и притом только

c

одно, число с, такое , что b = a . Это число называют логарифмом числа b по основанию а.

Итак,

Если а>0, a#1, b>0, то log b по определению есть показатель степени,

а

в которую надо возвести число а , чтобы получить b.

Поэтому равенство есть тождество,

которое называют основным логарифмическим тождеством.

Например , log 6 log 7

3. 3

3 = 6, 3 = 7.

Для обозначения десятичных логарифмов принята специальная запись:

вместо log b , где b>0 пишут lg b.

10

3. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 477, 478, 479, 480 (спрашивать определение логарифма с последующей проверкой на слайдах ).

2. Письменно решить № 482 (б,г), 483 (а,б), 485.

3. Устно решить № 488.

4. Решить на доске и в тетради № 489.

№ 477. Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а.

0,5

а). 9 = 3

Решение. 9- основание, 0.5- показатель

Log 3 = 0,5

9

0 1/5 -1

Б). 7 = 1, в). 32 = 2. г). 3 = 1/3.

№ 478.

2 /3 3 /5 3/ 4 2 /3

А). 27 = 9, б). 32 = 8, в). 81 = 27, г). 125 =25.

№ 479. Проверьте справедливость равенств.

А). log 1/81 = -4

3

Решение.

По определению логарифма -4- показатель степени , в которую нужно возвести 3 , чтобы получить число 1/81.

-4 4

3 = 1/81, (1/3) = 1/81, 1/81 = 1/81.

б). log 1 = 0, в ). Log 16 = 2, г). Log 125 = 3

16 4 5

№ 480. Проверьте справедливость равенств.

А). log 0,04 = -2, б). log 343 = 3, в). lg 0,01 = 2, г).log 1/243 = -5.

5 7 3

№ 482 (б;г).

Б). log 0,008 = 3, г). log 125 = -3?

0,2 0,2

Решение. Решение.

3 -3

0,2 = 0,008- Ист. 0,2 = 125,

-3 3

(1/5) = 5 ,

3 3

5 = 5 - Ист.

№ 483 ( а, б). Найдите логарифмы чисел по основанию а.

1/2

А). 25, 1/5, 5 при а = 5.

Решение.

1/2

Log 25 = …, log 1/5 = …, log 5 = …; при а = 5 получим

a a a

1/2

Log 25 = …, log 1/5 = …, log 5 = …;

5 5 5

Б). log 64 = … , т. к. …

8

Log 1/8 = … , т.к. ….

8

Log 2 = … , т.к. …

8

№ 485. Найдите число х.

А). log x = -3, б). Log x = 0,

4 5

х = …, x = …,

х =… x = …

Ответ: … Ответ: …

№ 489 . Упростите.

1+log 3 log 3

5 1 5 1

А) 5 = 5 5 = 5 3 = 15.

1 – lg 2 1 lg 2

б). 10 = 10 : 10 = 10 : 2 = 5.

1+ log 2

1/7

в). (1/7) = 1/7 * 2 = 2/7.

4. Домашнее задание: п. 37 (1), № 481, 483 (в, г) , 484, 486, 487.

«Сведения из истории» стр. 257 – 261 учебника.

По желанию:

( Мехмат, МГУ, 1999) Известно, что для некоторой тройки чисел х, у, z

(х отлично от у) выражения

3

Log xyz ( xy / z) , log xyz ( xy / z).

Равны одному и тому же числу. Найдите это число.

Решение .

Пусть оба выражения равны одному и тому же числу t , тогда по определению логарифма

…………………………., ……………………………,

………………………….., …………………………..,

Поделив первое равенство на второе получим

………………………………………………..,

……………………………………………………,

……………………………………………., ………………………………………..,

Зная , что х # 0, и х/y #1, 3t = 1/6, t = 1/18. Ответ: 1/8. 5. Итоги урока.

Итак, сегодня на уроке вы познакомились с понятием логарифма числа, основным логарифмическим тождеством и научились применять их в ходе преобразования выражений. При решении показательных уравнений добились путем логарифмирования вычислять все корни или доказывать, что корней нет.

Итак, что такое ЛОГАРИФМ ЧИСЛА?

Молодцы! Оценки за урок …
ГОНКА.

Вычислить: (в тетрадях)

1 вариант 2 вариант.

Log 2 log 4 log 8 log 16 log 32 log 1

2 2 2 2 2 2

Log 1/32 log 1/16 log ¼ log 1/8 log ½ log 2

2 2 2 2 2 2

Log 1 log 3 log 9 log 27 log 81 log 1/3

3 3 3 3 3 3

Log 1/9 log 1/27 log 1/81 log 3 log 1/ 3 log 1

3 3 3 3 3 5

log 5 log 25 log 125 log 625 log 1/5 log 1/25

5 5 5 5 5 5

log 1/125 log 1/625 log 5 log 1/5 log 2 log 1/2

5 5 5 5 8 8

log 0,2 log 0,04 log 9 log 27 log 4 log 125

5 5 1/3 1/3 0,5 0,2

1/2

lg 1 lg 10 lg 100 lg 1000 lg 0,001 lg 10

log 5 log 7 log 3 log 5,2 log 2 log 11

2 3 5 П 1,6 3,8

2 3 5 П 1,6 3,8

Сдайте тетради, урок закончен.