Презентация "Тождественные преобразования тригонометрических выражений" по математике – проект, доклад

Тождественные преобразовании тригонометрических выражений

Лекция 4

Основные понятия

тригонометрическая окружность градусы и радианы синус и косинус тангенс и котангенс

Тригонометрическая окружность

0 x y I II III IV

Градусы и радианы

Перевод из радиан в градусы

Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на / 180 0.017453, число минут – на / ( 180 · 60 ) 0.000291, число секунд – на / ( 180 · 60 · 60 ) 0.000005 и сложить найденные произведения.

Пример 1.

Найти радианную меру угла 12°30’ с точностью до четвёртого десятичного знака. Р е ш е н и е . Умножим 12 на / 180 : 12 · 0.017453 0.2094. Умножим 30 на / (180 · 60 ) : 30 · · 0.000291 0.0087. Теперь находим: 12°30’ 0.2094 + 0.0087 = 0.2181 рад.

Из градусов в радианы

Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить число радиан на 180° / 57°.296 = 57°17’45” (относительная погрешность результата составит ~ 0.0004%, что соответствует абсолютной погрешности ~ 5” для полного оборота 360° ).

Пример 2.

Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1’. Р е ш е н и е . Последовательно найдём: 1 рад 57°17’45” ; 0.4 рад 0.4 · 57°.296 = 22°.9184; 0°.9184 · 60 55’.104; 0’.104 · 60 6”. …

Пример 2 (продолжение)

Таким образом, 0.4 рад 22°55’6” и тогда: 1 рад 57°17’45” + 0.4 рад 22°55’6” ___________________________ 1.4 рад 80°12’51” После округления этого результата до требуемой точности в 1’ окончательно получим: 1.4 рад » 80°13’.

Косинус и синус cost sint t

Тангенс tgt

Котангенс ctgt

Формулы приведения

Эти формулы позволяют: 1) найти численные значения тригонометрических функций углов, больших 90°; 2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям; 3) избавиться от отрицательных углов и углов, больших 360°.

Соотношения между тригоно-мерическими функциями одного и того же угла

Формулы сложения и вычитания

Формулы двойных, тройных и половинных углов

Преобразо-вание триго-нометрических выражений в произведение

Преобразование тригоно-метрических выражений в произведение

Обратные тригонометрические функции

arcsin x – это угол, синус которого равен x. Аналогично определяются функции arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x. Эти функции являются обратными по отношению к функциям sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x, поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями. Все обратные тригонометрические функции являются многозначными функциями, то есть каждому значению аргумента соответствует бесчисленное множество значений функции. Так, например, углы 30°, 150°, 390°, 510°, 750° имеют один и тот же синус.

Если обозначить любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохранить обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, то связь между ними выражается следующими соотношениями:

где k – любое целое число. При k = 0 мы имеем главные значения.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций