Конспект урока «Чётность и нечётность функций. Нулевые функции» по алгебре для 10 класса

Дать определение нечётной функции.

Функция f(x) называется нечётной, если она обладает двумя свойствами:

• её область определения симметрична относительно нуля;

- для любого х из области определения выполняется равенство: f(-x) = - f (x).

3. Сформулировать свойства графика чётной функции.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

4. Сформулировать свойства графика нечётной функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

5. Что вы можете сказать о чётности и нечётности тригонометрических функций.

Функции y = sin x, y = tg x, y = ctg x являются нечётными;

функция y = cos x является чётной.

2. Каждой группе было дано домашнее задание: исследовать функции на чётность и нечётность. По одному представителю от каждой группы выходят к доске.

I группа

f(x) = cos4x + 4cos2x –

+3

Решение:

f(-x) = cos(-4x) + 4cos(-2x) –= cos4x +4cos2x – + 3 = f(x);

f(x) – чётная функция.

2. Устно. ( Графики отображаются на экране).

1.Какая из указанных функций является:

1) нечетной; 2) четной; 3) не является ни четной ни нечетной?

3)

1)

2.Определить, какие из указанных функций являются чётными и нечётными:

1); (область определения все числа и f(-x) = - f (x),нечетная).

Как можно изменить функцию f(х), что бы она стала ни четной ни нечётной?

-Можно прибавить число.

- Можно степень заменить на четную.

- Можно синус заменить на косинус.

2); (область определения все числа и f(-x) = f (x),четная).

Если к функции прибавить или отнять число, как это повлияет на четность?

-Функция останется четной.

3) h(х) = 5. (область определения все числа, четная).

( После устного счета отвечают те учащиеся, кто работал у доски).

3. Изучение новой темы.

Каждой группе было предложено задание на дом, упростить данные выражения. На уроке информатики Андрей Владимирович помог ребятам оформить решение каждого примера на компьютере в виде презентации.

I группа

f(x) = cos4x + 4cos2x –

- + 3 = 2cos²2x – 1 + +4cos2x+3 – =

-Ребята, мы видим, что, в третьем случае после преобразования выражения, задающего функцию h(х), мы получили h(х) = 1. Изобразите на доске график этой функции.

Из третьей группы ученик рисует на доске график функции h(х) = 1.

(На доске изображена заготовка прямоугольной системы координат).

y

h(x) = 1

0 х

Какой же является данная функция?

-Данная функция является четной.

- Вернемся к примерам 1-ой и 2-ой группы. Мы получили функции, области значения которых включают только 0. Такие функции называются нулевыми функциями

(На доске дописывается тема урока: «Нулевые функции»)

- Ребята, кто из вас ещё раз сформулирует определение нулевой функции.

Функция, область значения которой равна нулю, называется нулевой функцией.

- Как вы считаете, что будет являться графиком нулевой функции?

Графиком нулевой функции является ось абсцисс.

0 x

(Учащиеся пишут определение и строят график в тетрадь, одновременно определение и график функции отображается на экране).

- Как вы считаете, относительно чего симметрична данная прямая?

Прямая y = 0 симметрична как относительно оси ординат, так и относительно начала координат.

- Если графики нулевых функции f и g симметричны относительно начала координат, то функции f и g являются какими?

- Функции f и g являются нечетными.

- Если графики функций f и g симметричны относительно оси ординат, то функции f и g являются какими?

- Функции f и g являются четными.

- Какой можно сделать вывод на основании этих двух утверждений?

На основании этих утверждений заключаем, что функции f и g являются и чётными, и нечётными.

- Итак, функции f и g – нулевые и они являются и чётными и нечётными. Вместе с тем, возникает вопрос, а могут ли функции, являющиеся и чётными и нечётными, быть отличными от нулевых?

Чтобы ответить на этот вопрос, докажем утверждение: «Только нулевые функции могут быть и чётными, и нечётными».

Доказательство:

Если функция f является и чётной, и нечётной, то для любого выполняются оба равенства: f(-x) = f(x) и f(-x) = - f(x). Отсюда следует, что f(x) = - f(x), откуда 2f(x) = 0 и, наконец, f(x) = 0.

(Данное утверждение и доказательство отображается на экране, учащиеся записывают их в тетрадь).

-Отсюда делаем вывод: только нулевые функции могут быть и чётными, и нечётными.

IV. Закрепление.

1.Учащиеся работают по группам (Каждая группа получает карточку).

I группа. Исследовать на чётность и нечётность функцию и построить её график.

Решение: Область определения этой функции составляют все числа, кроме 0. А при х ≠ 0 имеем: Значит, данная функция является нулевой. Построим график этой функции. По графику видно, что она является и чётной, и нечётной. Кроме того, данная нулевая функция является разрывной.

0 x

II группа.

Исследовать на чётность и нечётность функцию и построить её график.

Решение:

Область определения этой функции составляют все числа, кроме х = 1. А при х ≠ 1 имеем: Следовательно, данная функция является нулевой. Её график представлен на рисунке.

y

0 1 x

Область определения данной функции есть множество, несимметричное относительно начала координат. Значит, данная функция, являясь нулевой, не является ни чётной, ни нечётной.

- Нулевых функций, которые задаются формулами, где , существует бесконечное множество, т. е. существует бесконечное множество функций, которые являясь нулевыми, не являются и четными и нечетными.

III группа.

Исследовать на чётность и нечётность функцию и построить её график.

Решение:

Область определения этой функции составляют все значения х, кроме х = 2, -2. А при х ≠ 2, -2 имеем: Следовательно, данная функция является нулевой. Её график представлен на рисунке.

y

-2 0 2 x

Область определения данной функции есть множество, симметричное относительно начала координат и данная функция является нулевой. Значит она является и чётной, и нечётной.

2. При решении задач на определение четности и нечетности функций удобно пользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм исследования функции на чётность и нечётность.

3. Самостоятельная работа по карточкам.

(Каждый учащийся группы получает карточку с заданиями).

Вариант 1.

1. Выяснить чётность и нечётность функции.

а); б).

2. Определить по графику чётность и нечётность функции.

3. Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график.

.

Вариант 2.

1. Выяснить чётность и нечётность функции.

а); б).

2. Определить по графику чётность и нечётность функции.

3. Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график.

.

(Самопроверка).

V. Итог урока. Домашнее задание.

Учитель математики Виноградова Ольга Григорьевна, г.Новый Уренгой. 2012 г.