Конспект урока «Логарифмы. Свойства логарифмов» по алгебре

6.Подведение итогов.

7.Домашнее задание № 266-271 (четные)

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема : «Логарифмическая функция. Свойства и график»

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие – с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия логарифмической функции, свойства этой функции и график.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: показательная функция и логарифмическая функция.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- определение логарифма.

- обозначения и основные свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- находить логарифм числа.

- строить график логарифмической функции с данным основанием.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентации по теме: «Логарифмическая функция. Свойства и график»

5.Закрепление материала: Решение задач № 318-322 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 318-322 четные.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания – 10 мин. Письменно на доске проверка § 18 Упражнение № 318-322 четные.

4. Изучение нового материала - 45 мин.

Опр: Функция ,  называется логарифмической функцией.

         Логарифмическая функция  является обратной по отношению к показательной функции   . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

         Приведем основные свойства логарифмической функции:

1)    Область определения: .

2)    Область значений функции: .

3)    Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: , .

4)    Функция ,  возрастает в промежутке  (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5)    Функция ,  убывают в промежутке  (рис. 8 б). При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших

5. Закрепление нового материала: Решение упражнений № 318-322 нечетные.

№ 318

1) log _{3 >} log _{3 ,} т.к функция у = log ₃ x возрастает.

3) log e log π, т.к функция у = logх убывает.

№ 319

1. т.к 3> 1 и 4,5 > 1, то log ₃ 4,5 > 0.

3)т. К 5 > 1 b 25,3 > 1, то log ₅ 25, 3 >0.

№ 320

1)log ₃ x , т.к 3 > 1, - 0,3 x

3)lg x = 0.2 , т.к 10> 1, 0,2 > 0, то х >1.

№ 321

1)убывает

3)возрастает.

№ 322 у = log ₂ х

6. Подведение итогов.

7. Домашнее задание: № 318-322 четные.

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема : «Десятичные и натуральные логарифмы »

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие – с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия десятичного и натурального логарифмов.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: десятичный и натуральный логарифм.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- определение десятичного и натурального логарифма, формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

- свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- находить логарифм числа, применяя формулу перехода от логарифма по одному основания к логарифму другого основания.

- пользоваться таблицей Брадиса и микрокалькулятором при вычислении логарифмов.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Десятичные и натуральные логарифмы»

5.Закрепление материала: Решение задач № 301-307 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 17Упражнение № 301-307 четные.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания – 15 мин. Тесты.

Вариант № 1

1. Найдите область определения функции у =

1. ( - ; +); 2) (2; +); 3) ( - ; 2)(2; +); 4) [2; +).

2. Найдите значение выражения

1. 21; 2) 101; 3) 11; 4) 15,2.

3. Вычислить:

81^log₃⁴

а) 16; б) 64; в)256; г)1

4. Сравнить числа:

log_e6 log_e

а) log > log e ; в) log = log e ;

б) log log e ; г) нельзя определить

Вариант № 2

1. Найдите область определения функции у =

1. ( - ; +); 2) (4; +); 3) ( - ; 4)(4; +); 4) [4; +).

2. Найдите значение выражения

1)50; 2) 7; 3) 1; 4) 1,2.

3. Вычислите: 27^log₃⁵

а) 5; б) 27; в)125; г)25.

4. Сравните числа: log5 log

а) log5 > log ; в) log5 = log ;

б) log5 log; г) невозможно определить.

4. Изучение нового материала - 45 мин.

Опр: Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 ипишут   lg b

Опр: Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e - иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b.

Переход к новому основанию логарифма

Логарифмических функций бесконечно много: и т.д. Возникает вопрос, как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log₂ х и y=log₃ x? На рис. 231 изображены графики функций у=log₂ х и у=log₃ х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:

Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.

Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log₂ х и у =log₃ х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:

Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение

;

подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку log₂ 3 > 1.

Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:

Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:

Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим:

Следствие 2. Если а и b — положительные числа, причем , то для любого числа справедливо равенство:

Доказательство. Перейдем в выражении к логарифмам по основанию а:

5. Закрепление нового материала:
Пример 1. Дано:

Решение.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:

Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме:

Ответ: х = 3.

6. Подведение итогов.

7. Домашнее задание № 318 – 324.

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема: «Логарифмические уравнения »

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие – с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные – формирование понятий простейших логарифмических уравнений.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: десятичный и натуральный логарифм.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- знать вид простейших логарифмических уравнений, основные приемы решений логарифмических уравнений.

- свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- решать простейшие логарифмические уравнения и применять основные приемы при решении уравнений.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифмические уравнения»

5.Закрепление материала: Решение задач № 337-340 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 337- 340 четные.

Ход урока

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифм. Свойства логарифмов»

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Опираясь на теорему 4 из § 18, согласно которой равенство

справедливо тогда и только тогда, когда 1=8, мы можем сформулировать следующее утверждение.

На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению f(х) = g(х) (такой переход называют потенцированием), решают уравнение f(х)= g(х), а затем проверяют его корни по условиям f(х) >0, g(х) >0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(х) = g(х), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(х) =g(х), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.1) Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов ), получаем:

2) Проверим найденные корни по условиям:

Значение x = 4 не удовлетворяет этой системе неравенств (достаточно заметить, что x = 4 не удовлетворяет второму неравенству системы), т.е. x = 4 — посторонний корень для заданного уравнения. Значение x =-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х = —3 — корень заданного уравнения.

Ответ: х = -3.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. 1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду (1). Для этого воспользуемся правилом: «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение log₂(х + 4)+ log₂(2x + 3) выражением log²(х + 4)(2x: + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

2) Потенцируя, получаем:

3) Проверим найденные корни по условиям:

(обратите внимание: условия для проверки всегда определяют по заданному уравнению). Значение x = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет (это посторонний корень).
Ответ: х = -1.

Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств — в примере 2 решением системы неравенств будет интервал (-1,5, 0,5); это — область допустимых значений переменной (ОДЗ) или область определения уравнения. Затем найти корни x₁ = -1, х₂ = -5,5. И, наконец, сделать проверку найденных значений х, но уже не с помощью системы неравенств, а по найденной заранее области допустимых значений. В примере 2 значение x = -1 принадлежит интервалу (-1,5, 0,5), а значение x = -5,5 этому интервалу не принадлежит. Следовательно, х = -5,5 — посторонний корень, т.е. x = -1 — единственный корень заданного логарифмического уравнения.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.

Так как

то заданное уравнение можно переписать в виде

Есть смысл ввести новую переменную y = lg х; тогда уравнение примет вид

Это значение удовлетворяет условию (посмотрите: у записанного выше рационального относительно у уравнения переменная содержится в знаменателе, а потому следует проверить, не обращается ли знаменатель в 0 при найденном значении переменной у).

Итак, у = 2. Но у = lg х, значит, нам осталось решить простейшее логарифмическое уравнение lg х = 2, откуда находим х = 100.

Ответ: х = 100.

Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения логарифмических уравнений.
1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 49.

2)Методпотенцирования.  Он основан на теореме, полученной в начале параграфа. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.

3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.

Завершая параграф, рассмотрим пример, в котором для решения уравнения используется еще один метод — метод логарифмирования, и пример решения системы логарифмических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; зто — равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим:

позволит переписать заданное уравнение в виде: (l - log₅x) ■ log₅ х = -2. Замечаем, что «проявилась» новая переменная у = log₅ х, относительно которой уравнение принимает весьма простой вид: (1 - у)у = -2. Далее получаем:

Но у = log₅ х, значит, нам осталось решить два уравнения:

log₅ x=2, log₅ x=-1. Из первого уравнения находим х = 5', т.е. х = 25; из второго уравнения находим x =5 , т.е.

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:

3)    Решим полученную систему уравнений:

Подставив 2у вместо х во второе уравнение, получим

Соответственно из соотношения х = 2у находим х₂ = 4, х₂ = -2. 4) Осталось сделать проверку найденных пар (4; 2) и (-2; -1) с помощью условий, которые мы определяем, анализируя исходную систему уравнений:

Пара (4; 2) удовлетворяет этим условиям, а пара (-2; -1) не удовлетворяет (например, она «не проходит» уже через первое условие 2х -у> 0).

Ответ: (4; 2).

5.Закрепление материала: Решение задач № 337-340 на стр. – 25 мин.

№ 337

1)log ₂ (x -5 ) + log ₂ (x + 2) = 3

log ₂ (x-5)(x +2) = log₂ 8

(x-5)(x +2)=8

x-5>0

x+2 > 0

x² - 3x -18=0

x₁ = 6 x₂ = -3.

Учитывая область определения логарифмической функции х>5 и x > -2 Ответ: х = 6.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 337- 340 четные.

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема : «Логарифмические неравенства»

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие – с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные – формирование понятий простейших логарифмических неравенств.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: логарифмические неравенства и уравнения.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- знать вид простейших логарифмических неравенств, основные приемы решений логарифмических неравенств.

- свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- решать простейшие логарифмические неравенства и применять основные приемы при решении неравенств.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифмические неравенства»

5.Закрепление материала: Решение задач № 354-357 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 20 Упражнение № 354- 357 четные.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3.Проверка домашнего задания – Письменно на доске № 337-340

4.Изучение нового материала.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифмические неравенства».

Теоретическая часть:

Алгоритм решения логарифмического неравенства.

1.Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражения больше нуля).

2.Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция. ( если основание а> 1, то функция возрастает. Если 0a

3.Переходим к более простому неравенству (подлогарифмических выражений); знак неравенства сохраняется, если функция возрастает, знак меняется, если функция убывает.

4.Решаем полученное неравенство, учитывая область определения исходного неравенства.

Пример:

log₃(x – 5) log x²

1)Область определения неравенства х – 5> 0 и х ² > 0. Значит,

x> 5.

2)Функция у = log₃х возрастает, т.к 3>1.

3)x² –x +5>0. Неравенство верно при любом действительном х.

4)Решение неравенства: х>5.

Практическая часть: № 354 – 357 (нечетные).

Закрепление нового материала:

Вариант 1

1. Укажите множество решений неравенства:

а)( – ; 3] б) [3; + в) (; 1]; г) (3,5; +

2. Найдите значение выражения: log₃ log₇7 – log₅

а) б) -1; в) 1; г) 7

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (8; 10); 2) (14; 16); 3) (6; 8); 4) (4; 6).

Вариант 2

1.Укажите множество решений неравенства:

а) ( – ; 4] б) [4; + в) (3,5; 4]; г) (3,5; + .

2.Найдите значение выражения: log₇ log₁₁11 – log₉

а) 1; б) -1; в) ; г)

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg 5x = 2

1. (8;10); 2) (14;16); 3) (19;21); 4) (94;96).

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 354- 357 четные.