Конспект урока «Решение показательных уравнений» по алгебре для 11 класса

Методическая разработка урока алгебры в 11 классе

Тема урока: Решение показательных уравнений.

Аудитория: 11 класс

Место урока в теме: урок знакомства с методами решения показательных уравнений, на предыдущем уроке введено определение показательного уравнения, представлен способ решения простейших показательных уравнений (приведение к одному основанию), ранее закончена тема «Показательная функция».

Цели урока: обучающие: на конец урока учащиеся:

• формулируют определение показательного уравнения;

• умеют распознавать показательные уравнения среди различных уравнений;

• выбирают способы решения показательных уравнений;

• решают показательные уравнения изученными ранее способами (с помощью учителя, по образцу);

развивающие:

• развитие логического мышления, умения анализировать, сопоставлять;

• формирование грамотной математической речи.

Формы, методы и приемы: фронтальная работа, работа в группах, поисковый метод.

Ход урока:

1. Мотивация учащихся. Постановка целей урока.

Учитель: Вы знаете, что предстоящий экзамен по математике проверяет в том числе умение решать уравнения. Вам известны многие виды уравнений и на прошлом уроке мы познакомились еще с одним - с простейшими показательными уравнениями. Исходя из своего опыта решения уравнений вы, конечно, понимаете, что класс показательных уравнений не ограничивается простейшими уравнениями. А это значит, что...

Учащиеся пробуют сформулировать тему и содержание урока.

Учитель: Да, сегодня нам предстоит познакомится с другими “представителями класса показательных уравнений” и, конечно, попытаться найти способы их решения.

Сначала давайте вспомним, какие уравнения нам известны и какими способами мы их решаем. Перед вами уравнения, ваша задача – определить вид каждого уравнения и назвать способ его решения.

1. х ² + 7х + 6 = 0 8) 3^{х + 1} = 2 – х

2. 3six ² x – 5sin x – 2 = 0 9) += 2

3. 2х ⁴ - 27х² + 81 = 0 10) 2х³ – 18х – 3х² + 27 = 0

4. 3х ² - 8x = 0 11) 7^{3х – 15} =

5. 2 ^{2 – х} = 8 12) = х + 2

6. = 13) sin 2x + cos 2x = 0

7. sin² x + 2sin x cos x – 3cos ² х = 0 14) 2sin x cos x + sin x = 0

Учащиеся: уравнение 1) - квадратное, решается по формулам (через дискриминант); 4) – неполное квадратное уравнение, решается вынесением за скобку общего множителя (разложение на множители) и применением правила о равенстве нулю произведения нескольких множителей; уравнение 2) – тригонометрическое, с помощью замены сводится к квадратному; Уравнение 3) – биквадратное, также решается сведением к квадратному с помощью замены; уравнение 6) – линейное; уравнения 5), 8) и 11) – это показательные уравнения, т.к. переменная находится в показателе степени. 5) и 11) можно отнести к простейшим показательным уравнениям и решить их сведением обеих частей к одному основанию. Однако к 8-му уравнению этот способ решения применить нельзя. Уравнение 7) – тригонометрическое, однородное , для его решения применяется почленное деление на sin² x или на cos² x, таким образом получается тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному. Уравнение 12) – дробно-рациональное, можно решить по свойству пропорции. Но его можно еще решить графическим способом, который, надо заметить, не всегда может дать точный ответ. Уравнение 9) тоже дробно-рациональное, для решения используется приведение к общему знаменателю и свойство пропорции. Уравнение 13) – однородное тригонометрическое, способ решения – почленно разделить на cos²x. Уравнение 10) – уравнение третьей степени, можно попробовать разложить на множители и применить правило равенства нулю произведения нескольких множителей. Уравнение 14) – тригонометрическое, также решается разложением на множители.

Учитель: Молодцы! Верно названы все виды уравнений, способы их решения. Вы, наверное, заметили, что одни и те же способы решения предлагались для разных видов уравнений. Так может быть эти способы могут помочь и при решении показательных уравнений? Я предлагаю сейчас обсудить этот вопрос.

2. Работа в группах. (класс заранее поделен на группы по 3-4 человека)

Каждой группе предлагается набор уравнений. Группе необходимо найти универсальный способ решения всех предложенных уравнений. Время работы в группах оговаривается заранее (не более 15 минут). После завершения работы представители групп должны познакомить класс с найденными способами решения уравнений (на примере решения одного уравнения).

Наборы уравнений для групповой работы:

1 группа: 2^х – 1 = √ х

3^х+2 = - х + 3

= 2х + 5

2 группа: 4^х-3 + 4^х = 260

5^х+1 + 5^х + 5^х-1 = 31

7 ^х - = 6

3 группа: 2 ^{2х –} 3*2^х + 2 = 0

9 ^х + 2 * 3 ^х - 8 = 0

2 ^{2х+1 –} 5 * 2^х - 88 = 0

4 группа: 3^х = 5^х

25^х = 7^2х

3 * 2^2х + 6^х - 2 * 3^2х = 0

В завершении этой части урока названы следующие способы решения показательных уравнений:

• графический способ ( построение в одной системе координат графика показательной или логарифмической функции и графика функции, задающей правую часть уравнения; ответ – абсцисса точки пересечения графиков);

• замена переменной и сведение к алгебраическому уравнению;

• способ разложения на множители (вынесение общего множителя за скобку);

• для однородных уравнений – почленное деление на выражение, не равное нулю;

• решение простейших уравнений с использованием утверждения: а ^{f (x)} = a ^{g (x)} f(x) = g(x) (решение простейшего уравнения встечается почти во всех видах уравнений на заключительном этапе решения).

Решения уравнений сохраняются в течение урока на доске, учитель по необходимости корректирует образцы записи решения уравнений.

3. Формирование умений и навыков решения уравнений.

Самостоятельная работа учащихся по решению уравнений представленными выше способами.

Уравнения для самостоятельного решения:

1. 2^2x – 6 * 2^x + 8 = 0

2. 9^х + 8 * 3^х = 9

3. 5^{2x + 1} – 26 * 5 ^x + 5 = 0

4. 3^x = х²

5. = x + 11

6. 2^х – 2^х-2 = 3

7. 3^х+2 + 3^х = 810

8. 5^х - = 4

9. 64 * 8^2х + х * 8^2х = 0

10. 7 * 5^х = 5 * 7^х

11. 3 * 2^2х + 6^х – 2 * 3^2х = 0

12. 3 * 4^х – 5 * 6^х + 2 * 9^х = 0

4. Рефлексия. Самооценка.

Учитель: Вот и подходит к концу сегодняшний урок. Что нового вы на этом уроке узнали?

Учащиеся: Узнали больше о показательных уравнениях. Убедились в том, что новые уравнения можно решать «старыми» способами.

Учитель: И в заключении каждому предлагается оценить результат своей работы на уроке. Заполните, пожалуйста, итоговую таблицу.

5. Домашнее задание.

Учитель: Предлагаемое сегодня домашнее задание будет у каждого из вас свое. Каждый определит его сам: параграф 46 задачника содержит множество показательных уравнений, решаемых различными способами, в том числе и такими, о которых (применительно к показательным уравнениям) не было сказано на уроке. Очень бы хотелось в домашней работе увидеть уравнения, решаемые различными способами.

Урок окончен, всем спасибо за работу.

Используемая литература:

• А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа (в 2-х частях)

• Открытый банк задач ЕГЭ по математике

• М.А. Попов. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре и началам анализа: 11 класс: к учебнику А.Г. Мордковича

• А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. Контрольные работы для общеобразовательных учреждений.

• В.С. Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М., Просвещение, 1990.