Презентация "Различные виды уравнения прямой" (7 класс) по математике – проект, доклад

Различные виды уравнения прямой

презентацию подготовила ученица 7 «Б» класса МОУ «Гимназия №1» Распарина Ольга

Общее уравнение прямой

Уравнение Ax+By+C=0 (где A, B и C могут принимать любые значения, лишь бы коэффициенты A, B не были равны нулю оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

Ах+Ву+С=0

1) Если A=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Ох (у= ). Пример 1. Графиком уравнения у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;-10).

2) Если В=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Оу (х= ). Пример 2. Графиком уравнения х=6 является прямая, параллельная оси Оу и проходящая через точку (6;0).

3) Когда В=0, то у= Уравнение у=кх+m, где к= , а m= называется уравнением прямой с угловым коэффициентом к. 4) Если С=0, то есть уравнение Ах+Ву+С=0 не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат.

(у= , то есть у=кх – где к – угловой коэффициент прямой. Ясно, что к= , где Х0 и У0 координаты произвольной точки прямой, Х0=0).

х у у0 х0 1 0

Пример 3.

Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением у=кх. Определим угловой коэффициент этой прямой. Возьмем к примеру точку А этой прямой, тогда к= , то есть к= . Значит, к=-2 и уравнение данной прямой имеет вид: у=-2х.

-1 А 2

Пример 4.

Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Данная прямая получена из прямой у=кх смещением последней на 3 ед. отрезка вверх вдоль оси Оу. Прямые у=кх и данная параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Определив угловой коэффициент прямой у=кх (к= ), получим, что угловой коэффициент данной прямой равен -2. А так как данная прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 3, то в уравнении данной прямой (у=кх+m), к=-2, m=3. Искомое уравнение имеет вид у= =-2х+3.

у=кх

Теоремы

Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения. Теорема 1. Если прямая отсекает на осях отрезки а и в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1.

Теорема 2.

Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в. Уравнение =1 называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0).

Вывод уравнения прямой в отрезках.

Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом. Пусть у=кх+m – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1.

у=кх+m

Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части полученного равенства на m. Получим следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1. Учтем, что = . Следовательно, = . Обозначив буквой «а», а m – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в отрезках =1.

Рассмотрим следующий пример

Пример 5. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пример 5.

2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0. 3) =1. = 1 2. у= -2. В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3). Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решить систему уравнений относительно к и m, где х1=1, у1=-2, х2=-1, у2=4. И, найдя значения к и m, подставить их в уравнение у=кх+m. Всякий раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально.

у2=кх2+m. у1=кх1+m,

Решим эту задачу в общем виде.

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х1;у1) и (х2;у2) такие, что х1=х2, у1=у2. Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+m.

Решим систему уравнений относительно к и m. Найдя значения к и m, подставим их в уравнение у=кх+m. Итак, Уравнение прямой примет вид: у= х+у1- х1.

m=у1-кх1, у2=кх2+у1-кх1. к= . (у2-у1)=к (х2-х1). m=у1- х1,

Преобразуем его

у-у1= х- х1, у-у1= (х-х1). (у-у1) (х2-х1)=(у2-у1) (х-х1) (х2-х1) (у2-у1), Мы получили уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х1;у1) и (х2;у2), причем х1=х2, у1=у2.

(у-у1) (х2-х1)=(у2-у1) (х-х1)

А что если х2=х1 (при условии, что у2=у1) или у2=у1 (при условии, что х2=х1)? В этом случае уравнение ( ) будет выглядеть так: (у2-у1) (х-х1)=0 или (у-у1) (х2-х1)=0. Откуда получим уравнения: х=х1 или у=у1. То есть уравнения прямых, параллельных координатным осям.

В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох.

Пример 6.

Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4). Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки. Перепишем его в виде Теперь подставим в него координаты данных точек: Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4). Ответ: у=-3х+1

(-6) -3(х-1)=у+2. у=-3х+1.

Рассмотрим задачу:

«Лежат ли точки А1 (-2;5), А2 (4;3), А3 (16;-1) на одной прямой?». Решить ее можно так: 1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки А1 и А2. 2) Подставить координаты точки А3 в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка А3 прямой, проходящей через точки А1 и А2.

Итак: «Лежат ли точки А1 (-2;5), А2 (4;3), А3 (16;-1) на одной прямой?»

Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в уравнении х=х3, у=у3 и, подставив координаты данных точек в равенство , получим: . Полученное равенство верное, следовательно, точки А1, А2 и А3 лежат на одной прямой . Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач.

Спасибо за внимание!!!