Презентация "Каскады многогранников" по математике – проект, доклад

Каскады из правильных многогранников

Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. При этом возможны следующие случаи: Вершинами вписанного многогранника являются некоторые вершины описанного многогранника. Вершинами вписанного многогранника являются середины ребер описанного многогранника. Вершинами вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника. Серединами ребер вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника. Центрами граней вписанного многогранника являются некоторые центры граней описанного многогранника. Последовательное вписывание друг в друга правильных многогранников называется каскадом. Здесь мы рассмотрим возможные варианты вписанности правильных многогранников и покажем, что имеется 5! = 120 каскадов.

Куб и тетраэдр

Тетраэдр можно вписать в куб так, что вершинами тетраэдра будут некоторые вершины куба.

Упражнение 1

Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный куб.

Куб и октаэдр

В куб можно вписать октаэдр. Вершинами октаэдра являются центры граней куба. В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба.

Упражнение 2

Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный куб.

Упражнение 3

Найдите ребро куба, вписанного в единичный октаэдр.

Куб и икосаэдр

В куб можно вписать икосаэдр так, что серединами ребер икосаэдра будут центры граней куба.

Упражнение 4

Впишем в куб икосаэдр. Для этого построим на гранях куба отрезки, параллельные ребрам и середины которых лежат в центрах граней. Одним из таких отрезков является отрезок AB. Соединим концы этих отрезков. В результате получим многогранник, гранями которого являются двадцать треугольников и в каждой вершине сходится пять ребер. Какую длину должен иметь отрезок AB в единичном кубе, чтобы полученный многогранник был икосаэдром?

Куб и додекаэдр

В куб можно вписать додекаэдр так, что серединами ребер додекаэдра будут центры граней куба.

Упражнение 5

Впишем в куб додекаэдр. Для этого построим на гранях куба отрезки, параллельные ребрам и середины которых лежат в центрах граней. Одним из таких отрезков является отрезок AB. Соединим концы этих отрезков. В результате получим многогранник, гранями которого являются двадцать треугольников и в каждой вершине сходится пять ребер. Какую длину должен иметь отрезок AB в единичном кубе, чтобы полученный многогранник был додекаэдром?

Додекаэдр и икосаэдр

В додекаэдр можно вписать икосаэдр. Вершинами икосаэдра являются центры граней додекаэдра. В свою очередь, центры граней икосаэдра образуют вершины вписанного в него додекаэдра.

Упражнение 6

Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный икосаэдр.

Упражнение 7

Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный додекаэдр.

Додекаэдр и куб

Куб можно вписать в додекаэдр так, что вершинами куба будут некоторые вершины додекаэдра.

Упражнение 8

Найдите ребро куба, вписанного в единичный додекаэдр.

Додекаэдр и тетраэдр

В додекаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут некоторые вершины додекаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в додекаэдр. На рисунке ребра тетраэдра изображены зеленым цветом.

Упражнение 9

Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный додекаэдр.

Додекаэдр и октаэдр

Октаэдр можно вписать в додекаэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер додекаэдра. Для этого сначала в куб вписываем октаэдр и додекаэдр. При этом октаэдр окажется вписанным в додекаэдр.

Упражнение 10

Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный додекаэдр.

Икосаэдр и куб

В икосаэдр можно вписать додекаэдр, а в додекаэдр – куб. При этом куб будет вписан в икосаэдр. Его вершинами будут центры граней икосаэдра.

Упражнение 11

Найдите ребро куба, вписанного в единичный икосаэдр.

Икосаэдр и тетраэдр

В икосаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут центры граней икосаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в икосаэдр. На рисунке ребра тетраэдра изображены зеленым цветом.

Упражнение 12

Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный икосаэдр.

Икосаэдр и октаэдр

Октаэдр можно вписать в икосаэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер икосаэдра. Для этого сначала в куб вписываем октаэдр и икосаэдр. При этом октаэдр окажется вписанным в икосаэдр.

Упражнение 13

Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный икосаэдр.

Октаэдр и тетраэдр

В октаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут центры граней октаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в октаэдр. На рисунке ребра тетраэдра изображены зеленым цветом.

Упражнение 14

Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный октаэдр.

Октаэдр и икосаэдр

Икосаэдр можно вписать в октаэдр так, что центрами граней икосаэдра будут центры граней октаэдра.

В каком отношении вершины икосаэдра делят ребра тетраэдра?

Ответ: В золотом отношении.

Упражнение 15

Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный октаэдр.

Октаэдр и додекаэдр

Додекаэдр можно вписать в октаэдр так, что вершинами додекаэдра будут центры граней октаэдра.

Упражнение 16

Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный октаэдр.

Тетраэдр и октаэдр

Октаэдр можно вписать в тетраэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер тетраэдра.

Упражнение 17

Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный тетраэдр.

Тетраэдр и куб

Впишем в тетраэдр октаэдр, а в октаэдр куб. Тогда куб будет вписан в тетраэдр. Вершинами куба будут центры граней тетраэдра.

Упражнение 18

Найдите ребро куба, вписанного в единичный тетраэдр.

Тетраэдр и икосаэдр

Икосаэдр можно вписать в тетраэдр так, что центрами граней икосаэдра будут центры граней тетраэдра. Для этого сначала в тетраэдр вписываем октаэдр, а затем в октаэдр вписываем икосаэдр. При этом икосаэдр окажется вписанным в тетраэдр. Центрами граней икосаэдра будут центры граней тетраэдра.

Упражнение 19

Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный тетраэдр.

Тетраэдр и додекаэдр

Впишем в тетраэдр октаэдр, а в октаэдр додекаэдр. Тогда додекаэдр будет вписан в тетраэдр. При этом вершинами додекаэдра будут центры граней тетраэдра.

Упражнение 20

Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный тетраэдр.

120 каскадов

В качестве первого можно взять один из пяти правильных многогранников. В качестве второго, вписанного в него многогранника, можно взять любой из оставшихся четырех правильных многогранников. В качестве третьего – любой из оставшихся трех. В качестве четвертого – любой из оставшихся двух. Пятым будет один оставшийся правильный многогранник. Таким образом, число всевозможных каскадов из различных правильных многогранников равно 5!=120. На рисунке представлен каскад, в котором в качестве первого многогранника взят икосаэдр (красный), в него вписан додекаэдр (синий), затем куб (черный), далее тетраэдр (зеленый) и, наконец, октаэдр (розовый).

Рассмотренные случаи показывают, что в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники. Последовательно вписывая друг в друга правильные многогранники, получим так называемое каскадное вписывание.