Презентация "Теория телетрафика" по математике – проект, доклад

Теория телетрафика

часть 2 проф. Крылов В.В.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА

Андрей Андреевич Марков родился 14 июня 1856. В цикле работ, опубликованном в 1906-1912гг., заложил основы одной из общих схем естественных процессов, которые можно изучать методами математического анализа. Впоследствии эта схема была названа цепями Маркова и привела к развитию нового раздела теории вероятностей - теории случайных процессов.

©Крылов

Вероятностная модель СМО

дискретная цепь Маркова однородная цепь Маркова неприводимая цепь Маркова Возвратное и невозвратное состояние Периодическое и апериодическое возвратное состояние Возвратное нулевое и возвратное ненулевое

Цепи Маркова

Теорема 1. Состояния неприводимой цепи Маркова либо все невозвратные, либо все возвратные нулевые, либо все возвратные ненулевые. В случае периодической цепи все состояния имеют один и тот же период

Цепи маркова

Для неприводимой и апериодической цепи Маркова всегда существуют предельные вероятности, не зависящие от начального распределения вероятностей все состояния цепи невозвратные или все возвратные нулевые, и тогда все предельные вероятности равны нулю и стационарного состояния не существует все состояния возвратные ненулевые и тогда существует стационарное распределение вероятностей

Состояние называется эргодическим, если оно апериодично и возвратно ненулевое. Если все состояния цепи Маркова эргодичны, то вся цепь называется эргодической. Предельные вероятности эргодической цепи Маркова называют вероятностями состояния равновесия, имея в виду, что зависимость от начального распределения вероятностей полностью отсутствует.

Диаграмма переходов

Решение примера

Уравнения Чепмена-Колмогорова.(Chapman - Kolmogorov)

Непрерывные цепи Маркова

Случайный процесс X(t) с дискретным множеством значений образует непрерывную цепь Маркова, если Уравнение Чепмена – Колмогорова

H(t) = [pij(t)] - матрица вероятностей перехода из состояния i в состояние j в момент времени t , а матрица Q называется матрицей интенсивностей переходов Интенсивности вероятностей переходов qij(t)

Переходы в процессе гибели-размножения

Уравнения процесса гибели-размножения

Диаграмма интенсивностей переходов

Уравнения равновесия

Решение уравнений равновесия

Система M/M/1

Стационарное распределение

График распределения

Зависимость среднего числа заявок и времени пребывания в системе

Система с несколькими серверами

Двухсерверная система

Сравнение нормированного времени пребывания в системе

m – серверная система

m-cерверная система

С-формула Эрланга

Анализ системы M/M/1:N

Диаграмма интенсивностей переходов для системы с конечным буфером

Стационарные вероятности

Вероятность блокировки и пропускная способность

Средняя длина очереди и задержка в системе

Анализ систем с полными потерями

В-формула Эрланга

Модель Энгсета

Диаграмма интенсивностей переходов модели Энгсета

Параметры и решение

Формула Энгсета

Модель Молина Lost Calls Held (LCH)

Анализ системы M/G/1

Изменение незавершенной работы в СМО

Формула Полячека-Хинчина

Среднее число требований

Система M/D/1

Cистема G/G/1 (занятая)

Система G/G/1 (свободная)

Связанная марковская цепь

Решение (уравнение Линдли)

Решение уравнения Линдли

Приближенное решение

Верхняя граница,граница Маршалла

Нижняя граница для потоков с монотонностью

Уточненная нижняя граница

Графическое решение