Презентация "Теория графов" по математике – проект, доклад

Теория графов

Соколовская Анастасия Юрьевна 6 «Б» класс

Что такое теория графов?

Теория графов – это раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проэктируемые дома, сооружения, кварталы и т.п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети и т.п. – как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

История возникновения теории графов.

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсберских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Изображение графов на плоскости

При изображении графов чаще всего используется следующая система обозначений: каждой вершине сопоставляется точка на плоскости, и если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки соединяют отрезком. В случае ориентированного графа отрезки заменяют стрелками.

Неориентированный граф -

граф, вершины которого соединены ребрами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы двухсторонних (симметричных) отношений.

Граф, отражающий отношение «переписываются» между объектами класса «дети»

Ориентированный граф -

граф, вершины которого соединены дугами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы односторонних отношений.

Маша Юра Аня Витя Коля

Граф, отражающий отношение «пишет письма».

Приведите примеры цепи и цикла.

граф, у которого вершины или рёбра (дуги) несут дополнительную информацию (вес).

Москва, 1147

Переславль Залесский, 1152

Владимир, 1108 Взвешенный граф - 127

Дерево – граф иерархической структуры. Между любыми двумя его вершинами существует единственный путь. Дерево не содержит циклов и петель.

Задача «Подружки»

У трёх подружек - Ксюши, Насти и Оли - новогодние карнавальные костюмы белого, фиолетового и синего цветов, и шапочки тех же цветов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были фиолетового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у неё не был белым. Как были одеты девочки?

Решение: Будем изображать множество подружек, шапочек и костюмов прямоугольниками, а элементы множеств - точками, помещенными в эти прямоугольники.

1. Костюм и шапочка Насти одного цвета. 2. Костюм и шапочка Ксюши не фиолетового цвета. 3. Оля в белой шапочке. 4. Костюм у Оли не белый.

подружки костюмы шапочки Ксюша Оля Настя Бел. Фиол. Син.

Ксюша не в фиолетовой шапочке и не в белой, значит, в синей, а у Насти – фиолетовая шапочка.

У Насти цвета шапочки и костюма совпадают по условию, а у Оли – не совпадают.

Вывод: Настя в фиолетовом костюме и шапочке, Ксюша в белом костюме и синей шапочке, Оля в синем костюме и белой шапочке.

Три учительницы - Ирина Васильевна, Дарья Михайловна и Софья Петровна - преподают химию, биологию и физику в школах Ярославля, Владимира и Краснодара. Известно, что И.В. работает не в Ярославле, а Д.М. - не во Владимире; та, которая живет в Ярославле, преподает не физику; работающая во Владимире – учитель химии; Д.М. преподает не биологию. Кто в каком городе живет и какой предмет преподает?

Задача «Учительницы»

И.В. Д.М. С.П. Яр. Вл. Кр. хим. биол. физ.

1. И.В. работает не в Ярославле, а Д.М. - не во Владимире;

та, которая живет в Ярославле, преподает не физику;

3. работающая во Владимире – учитель химии;

4. Д.М. преподает не биологию.

Вывод: Д.М. не биолог и не химик, следовательно, преподает физику.

Вывод: в Ярославле живет учитель биологии (т.к. не физика и не химия), тогда физик - в Краснодаре.

Итак, Д.М. – физик из Краснодара, И.В. – живет во Владимире (т.к. не в Ярославле) и преподает химию, тогда С.П. – ярославна - биолог.

Теория графов и анализ художественного текста

Давайте определим, как фразы одного писателя или поэта отличаются от других. А точнее, при анализе художественного текста можно использовать математические методы. Покажем на примере творчества нескольких писателей, как на язык деревьев переводятся трудноуловимые, и на первый взгляд неформализуемые особенности стиля, которые кладутся в основу стилистической диагностики. Например, основная черта синтаксиса А.С. Пушкина – её ритмизованность и подчинённый ей лаконизм выражений.

Семантическая сеть

В прозаических произведениях Пушкина преобладают краткие фразы, часто встречаются нераспространенные предложения. Так если взять «Капитанскую дочку», то для неё типично расположенное дерево подчинения следующего вида: Пушкинский текст в основном состоит из предложений, в которых не более 11 слов, а рисунки этих деревьев либо симметричны, либо имеют длинный правый отросток. При этом даже для длинных фраз громоздкие деревья практически не возникают. Как мы видим, интуитивное ощущение прозаичности пушкинской фразы соответствует строгому понятию синтаксической простоты.

Деревья лермонтовской прозы во многом похожи на пушкинские, хотя расчёты показывают, что в среднем предложения Лермонтова чуть-чуть длиннее и чуть-чуть сложнее. Впрочем, есть важное различие в рисунках деревьев, свойственных этим авторам. Ширина ветвления корня дерева для фразы из «Героя нашего времени» гораздо больше, чем для фразы из «Капитанской дочки». Это означает, что дерево лермонтовской фразы растёт вширь, в то время как в пушкинской фразе оно растёт вглубь. Большая ширина ветвления возникает вследствие того, что сказуемые в лермонтовской фразе подчиняют себе не только дополнения, но и разнообразные по структуре и значению обстоятельства.

Признаки И.Л. Севбо

А теперь выясним; по какому принципу лингвисты проводят анализ художественного текста. И.Л. Севбо привёл 7 таких признаков, мы приведём для примера 4. 1. Количество узлов дерева (т.е. количество слов во фразе). 2. Количество простых предложений в сложном (помечание стрелок, соответствующих связям между частями сложного предложения) 3. Число уровней в дереве (длина самого длинного из путей дерева) 4. Ширина ветвления корня (число узлов подчинённых корню)

Проведём эксперимент. Перед нами строки из произведения «Кавказский пленник» А.С. Пушкина и М.Ю. Лермонтова. Нам нужно определить, какой граф принадлежит Пушкину, а какой Лермонтову. Мы это сделаем с помощью Севбо.

Из данных таблицы ясно, что дерево на рисунке В сложнее дерева на рисунке А. Как было сказано выше, язык Лермонтова немного сложнее языка Пушкина. Следовательно, граф на рисунке А принадлежит А.С. Пушкину, а граф на рисунке В – М.Ю. Лермонтову. Как видите, с помощью графов, зная особенности стиля того или иного писателя, можно определить, кому принадлежит фраза.

выводы

Теория графов помогает решать логические задачи. С помощью теории графов можно определить автора произведения. Теория графов широко применяется в географии, истории, генеалогии.