Презентация "Производная функции" по математике – проект, доклад

Производная функции

Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование

Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).

Аргументу x придадим некоторое приращение :

х f(x ) x+Δx f(x+ Δx )

Найдем соответствующее приращение функции:

Если существует предел

то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Итак, по определению:

Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:

Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:

М М1

Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.

Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.

Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Уравнение касательной

Уравнение нормали

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.

Теорема

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:

Доказательство: где при

По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

Функция y = f(x) – непрерывна.

Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций

1

Формула бинома Ньютона:

Степенная функция:

Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:

K – факториал

По формуле бинома Ньютона имеем:

Тогда:

2

Логарифмическая функция:

Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Пример

Вычислить производную функции

Данную функцию можно представить следующим образом:

Коротко:

Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.

Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.

Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Функция называется степенно – показательной.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.

Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.