Презентация "Пределы функций" по математике – проект, доклад

Математический анализ

Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Введение

Назначение курса

Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются традиционные классические методы математического анализа

Цели преподавания дисциплины

Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; Обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования технических и других задач.

Задачи преподавания

На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам исследования и решения математически формализованных простейших задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.

Литература

Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая школа, 1981 Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1987. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука, 1984.

Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978. Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001. Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

Контроль

Виды контроля: В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать теорию. Кроме того, студенты должны пройти промежуточную аттестацию. Итоговая аттестация предусмотрена в виде экзамена (компьютерное тестирование).

Аттестации

Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия получения на ней положительной оценки. Для получения положительной оценки на экзамене студент должен выполнить все контрольные работы, выполнить и защитить все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и регулярно выполнять все домашние задания.

Пределы и непрерывность

1. Определение предела функции. 2. Односторонние пределы. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие. 4. Теоремы о пределах. 5. Некоторые признаки существования предела. 6. Замечательные пределы. 7. Непрерывность. 8. Свойства непрерывных функций.

Лекция 1

Пределы функций

Определение функции

Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х)  У ,где Х и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу у У поставлен в соответствие хотя бы один элемент хХ, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

Обратная функция

Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть xX соответствует один и только один его образ y =f(x)  Y и обратно, для  y  Y найдется единственный прообраз x  X такой, что f(x) = y. Тогда функция ,где y  Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).

Определение окрестности

Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал   x  , окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а. Под окрестностью О() символа бесконечность понимается внешность любого отрезка ,, то есть О () = (-,)  (,+ ).

Определение предельной точки

δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, т.е. О (а, δ) = (а- δ, а)(а, а + δ). Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.

Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой δ -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xX, то есть О (а)∩X   для  О(а).

Определение предела

Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при xа), если для любого   0 существует число δ()  0 такое, что для любого x  X, удовлетворяющего условию 0  x – а δ, следует неравенство f (x) – A .

Другое определение предела

Говорят, что число А является пределом функции f(x) при xа, если для    0 существует δ-окрестность точки а О (а,δ) = {x| 0

Утверждение эквивалентно следующему: f(x) – A   при x   ∆, где ∆ = ∆() зависит от  и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом. Множество всех точек x, для которых x  ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа .

Геометрическая иллюстрация

а А а-δ а+δ А+ε А-ε Y=f(x) х у о

Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела.

У=f(x) 0

На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела.

Односторонние пределы

Любой интервал (, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а. Аналогично любой интервал (a, ), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а; запись означает, что х стремится к а слева, то есть при х

будем называть левосторонним пределом функции (при слева), - это правосторонний предел функции.

Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет в том и только том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы при . Tогда = = =

Бесконечно малые и бесконечно большие

Функция (x) называется бесконечно малой при ха, если Ясно, что тогда (x)   для всех x  O(а, δ) и   > 0. Например, функция является бесконечно малой при x0.

Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех x  O (а, δ)  M. Например, бесконечно большая при x0 .

Лемма. Если f(х)→ при х→а, →0 при ха. Если  (x)  0 при x a, то   при x  a и  (x)  0.

Лекция 2

Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x  а функций есть функция бесконечно малая при x  а.

Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при x  a функций есть бесконечно малая при x  a функция.

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при xa функции на функцию, ограниченную при x  a, есть бесконечно малая при x  a.

Следствие. Целая положительная степень бесконечно малой при x  a функции (x) есть бесконечно малая при x  a.

Если , то в силу определения предела функции получаем: f(x)-A

Тогда, полагая f(x)-A=(x), получим: f(x) = A + (x), где (x)  0 при x  a. Таким образом, имеем: f(x) = А+ (x), где (x)→ 0 при x  a.

Теоремы о пределах

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то Теорема. Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.

Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)|  М при всех х Х. Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а. Теорема. Пусть существует и пусть М

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)g(x),причём .

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)g(х), причем

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем . .

Пример

Найти . По теореме о пределе частного

Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и знаменателе множитель , на который и разделим далее числитель и знаменатель:

Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

Еще один пример. Вычислить Положим .

Признаки существования предела

«Теорема о двух милиционерах»

куда они меня тащут?

Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при x  a, то есть и Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

Первый замечательный предел

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть . Этот предел называют первым замечательным пределом.

Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление, т.е. искривиться.

x y В

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел: или или

Примеры Вычислим =

Найти Полагая , получим: =

Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одинакового порядка, если k, где k 0 и конечно. При этом пишут: (х) =О((х))

Две бесконечно малые при х→а функции (х) и (х) называются эквивалентными при х→а, если . Это записывают так: (x)  (x) при x→a.

Бесконечно малая при х→а функция (х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при х→а, если . В этом случае пишут (х) = о ((х)) при x→a.

Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.

Теорема. Если при бесконечно малые , то Пример.