Презентация "Интерполяция и аппроксимация" по математике – проект, доклад

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ

Кафедра Информационных технологий и управляющих систем Предмет «Вычислительные методы и их применение в ЭВМ» Лекция Доцент Стрельцова Г. А.

Введение

Если зависимость y(x) представлена рядом табличных отсчетов yi(xi), то интерполяция значений y(x) – это вычисление значений y(x) при заданном x, расположенном в интервале между отсчетами. За пределами общего интервала определения y(x) , вычисление y(x) называют экстраполяцией (предсказанием значений функции). Аппроксимация в системах компьютерной математики – это получение приближенных значений какого - либо выражения.

Повестка дня

Список изучаемых разделов: Интерполяция и ее виды. Особенности аппроксимации функций. Методы интерполяции и аппроксимации. Примеры решения задач интерполяции и аппроксимации в Maple Время, отводимое на каждый раздел: 5-10 минут.

Обзор Разделы лекции

Интерполяция и ее виды

Особенности аппроксимации функций

Методы интерполяции и аппроксимации

Примеры решений задач интерполяции и аппроксимации в Maple

Словарь терминов

Интерполирующая функция – это функция F(x), которая принадлежит известному классу и принимает в узлах интерполяции те же значения, что и искомая y(x). Узлы интерполяции y(x)– это значения x в интервале [a, b] определения данной функции y(x), которые однозначно определены.

Основная задача интерполирования. На отрезке [a, b] заданы n+1 точки x0, x1, … xi, … xn (узлы интерполяции) и значения функции y(x) в этих точках y(x0) = y0, y(x1) = y1, … y(xi) = yi, … y(xn) = yn . Требуется определить интерполирующую функцию F(x), которая: Относится к известному классу, Принимает в узлах интерполяции те же значения, что и y(x): F(x0) = y0, F(x1) = y1, … F(xi) = yi, … F(xn) = yn .

Геометрическое представление: Найти кривую y = F(x) определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(xi, yi), где I =0,1,2,..n. В общем случае задача является неопределенной. Однако она становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать, например, полином Pn(x) степени, удовлетворяющий условиям Pn (x0) = y0, Pn(x1) = y1, … Pn (xi) = yi, … Pn (xn) = yn .

Геометрическое представление интерполяции

0 x0 x1 x2 xn x y Mi M0 M1 M2 Mn Mn-1 ………. …….. Y =F(x)

Основные виды интерполяционных полиномов: Канонический полином, Полином Ньютона, Полином Лангранжа, Полином Эйткена, Полином Чебышева.

Под аппроксимацией функциональных зависимостей подразумевается получение некоторой конкретной функции, вычисленные значения которой с некоторой точностью аналогичны аппроксимируемой зависимости. Обычно предпочитают найти одну зависимость, которая дает точное значение искомой функции y(x) в узловых точках в пределах погрешности вычислений по умолчанию. Для этого также используют степенные многочлены - полиномы или линейные функции.

Геометрическое представление аппроксимации

y(x)

Полиномиальные Сплайновые Линейные Рациональные (отношение двух полиномов) Метод наименьших квадратов Тригонометрические (рядами Фурье).

Пример. Найти приближенное значение функции z(t) при заданном значении аргумента в табличной форме в точках x = 1, 1.5, 2. построить график найденной зависимости y(x). Решение. >t:=[данные из таблицы]; >z:=[данные из таблицы]; >x;=[1, 1.5, 2.0]; >interp(t,z,x);

>z:=y→interp(t,z,x); >for i from 1 to 3 do x[i]:=z(x[i]); end do; >l:=[[t[n], z[n] Sn=1..9]; > plot(l,z(y)], y=0.66..3.12,style=[point, line], symbol=circle) Задача сплайн-интерполяции Используется функция spline(X, Y, x, method), где параметр method определяет вид сплайна. В качестве данного параметра используются ключевые слова linear, quadratic, cubic, quadric или числа 1,2 3, 4. Если параметр не указан, то используется кубический сплайн.

Решение : > spline(t, z, y); > zs:=y → spline(t, z, y); > for I from 1 to 3 do xs[i]:=zs(x[i]); end do; ZSL:=y → spline(t, z, y, l); > l:=[[t[n], z[n] Sn=1..9]; > plot(l, zs(y), zsl(y)], y=0.66..3.12, style [point, line, line], symbol=circle)

ВЫВОДЫ

Рассмотренные вопросы Примеры решений в Maple. Практические работы Примеры вычислений в Maple.