- Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами

Конспект урока «Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами» по алгебре для 10 класса

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКО- СМЫСЛОВЫХ СХЕМ ПРИ ОБУЧЕНИИ

МАТЕМАТИКЕ.


Урок алгебры в 10 классе

Тема урока: «Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами».

Данная тема не входит в программный материал. Изучается эта тема с целью развития познавательного интереса к данной теме, умения нестандартно, творчески подходить к решению самых разнообразных задач. Поскольку в курсе алгебры и начала анализа 10-11 кл. содержится много уравнений, одним из способов, решения которых является «приведение уравнения к квадратному», то овладение рациональными способами решения квадратных уравнений является актуальным. Эта тема является одним из пунктов логико-смысловой модели темы «Квадратные уравнения».

Исходя из анализа уровня обученности, считаю, что в этом классе более приемлем дифференцированный подход к обучению. С этой целью для работы на уроке запланирована двухуровневая самостоятельная работа. Норма оценки и подбор упражнений в каждом уровне позволяют учащимся самостоятельно определить для себя темп работы и количество выполненных заданий. В ходе урока учащиеся продолжают развитие самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки. Используя логико-смысловую модель, учащиеся делают выводы, обобщения.


Урок алгебры в 10 классе

Тема урока: ««Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами».

Цели урока:

  1. Обобщить и систематизировать знания учащихся о рациональных способах решения квадратных уравнений.

  2. Развивать умение применять полученные знания на практике: умение делать выводы; умение работать в должном темпе; умение осуществлять самоконтроль.

  3. Воспитание положительной мотивации к обучению.


Ход урока.


Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку.

I Организационный этап урока:

а) приветствие;

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его задачах;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;

Целесообразность изучения данной темы.


Мотивация запоминания и длительного хранения в памяти.









Повторение и анализ основных фактов.


Демонстрация наглядности

Решение обучающей цели урока.


Проверка знаний.











































II (Фронтальная работа с классом)

Воспроизведение и коррекция опорных заданий.


Ребята, сегодня мы продолжаем систематизацию и обобщение по теме: «Решение квадратных уравнений».

Мы уже много раз говорили о том, что в курсе математики очень много задач решается с помощью квадратных уравнений. Поэтому очень важно научиться решать эти уравнения быстро. На сегодняшнем уроке мы с вами повторим и обобщим знания о решении квадратных уравнений рациональными способами. Эти знания понадобятся вам при изучении следующей темы. Необходимость решения квадратных уравнений быстро обусловлена введением ЕГЭ.


Задание: Провести обобщение темы «Квадратные уравнения» используя логико-смысловую модель.


(Двое ребят по схеме устно проводят систематизацию материала, используя схему, класс помогает в случае необходимости).


б) Математический диктант.


I вариант: 2х2+3х-5=0

II вариант: 2х2-5х+3=0

Реализация воспитательной цели урока.


6 (верно выполненных) заданий – 3 балла


4 задания – 2 балла


2 задания – 1 балл

Система упражнений:


  1. Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

  2. Найдите произведение коэффициентов а и с.

  3. Разложите полученное число на множители.

  4. Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

  5. Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

  6. Решите данное уравнение, используя формулы.



Самопроверка:

Сверившись с ответами, оцените каждое правильно выполненное задание в 0,5 балла.

I вариант:

  1. а=2, в=3, с=-5

  2. а*с=2*(-5)=-10

  3. -10=-1*10=1*(-10)==-2*5=2*(-5)

  4. а+в+с=2+3+(-5)=0

  5. -5*2; -5+2=-3

  6. Д=49>0, 2 корня х1=1; х2=

Ответ: -; 1

II вариант:

  1. а=2, в=-5, с=3

  2. а*с=2*3=6

  3. 6=-1*(-6)=1*6=-2*(-3)=2*3

  4. 2*3; 2+3=5

  5. а+в+с=2+(-5)+3=0

  6. Д=1>0, 2 корня х1=1; х2=

Ответ: 1;

Дополнение записей на доске.



Повторение основополагающих знаний.










Применение знаний к выполнению практических заданий.


Реализация развивающей цели урока.







Демонстрация возможности выбора оптимального метода решения квадратного уравнения.




II (Фронтальная работа с классом)

Постановка вопросов.

- Каков результат, ребята, вы получили при выполнении задания №5?

- Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

- Что можно сказать о втором корне уравнения?


Итак, мы выявим закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Вспомните словесную группировку этого свойства.



На доске: ах2+вх+с=0

Если а+в+с=0, то х1=1, х2=

Ребята, мы с вами знакомы с ещё одним свойством коэффициентом квадратного уравнения. Кто его нам напомнит.

На доске: ах2+вх+с=0

Если а + (-в) + с = 0, то х1 = -1, х2 = -



Устно:

Задание: решите квадратное уравнение.


1 балл. №1 132х2+247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-


1 балл №2 -345х2+137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-


2 балла №3 mх2-3mх+2m=0
Так как m-3m+2m=0, то х1=1, х2==2


Вернёмся к уравнению 2х2+3х-5=0. Какой ещё рациональный метод можно использовать при решении этого уравнения? Верно, «Метод переброски». В чём суть этого метода?

*

2 х2 + 3х – 5 =5

2*5 = -10 → 2=t1 Промежуточныекорни, причём

t1+t2=-3 и t1*t2=2*(-5) =-10

-5 = t2

x1 = ; x2 =


Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.


Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

Перенос повторенных знаний и их применение в новых или изменённых условиях.

Осуществление дифференцированного подхода к обучению.








Умение применять знания в нестандартных ситуациях.



III Завершающий контроль.

(проверка усвоенного на уроке)


I группа ребят выполняет индивидуальные задания, пользуясь таблицами коррекции знаний (см. Приложение).

II группа ребят работает устно, используя набор упражнений (см. Приложение).


После устной работы группа II работает самостоятельно над решением квадратных уравнений, выбирая оптимальный способ решения. Затем выполняют самооценку.

В это время на доске идёт:

а) демонстрация решения одного и того же уравнения разными способами. После самостоятельной работы идёт устное обсуждение решения.

б) решение уравнения, приводимого к квадратному.


2 балла:

а) При каком значении р один из корней уравнения
х2 рх + 6 = 0 равен 1? Найти х2

Ответ: р = 7, х2 = 6

3 балла:

б) Решите уравнение, используя введение нового неизвестного:
2 + 2у + 4)2 – 7(у2 + 2у + 4) + 12 = 0

Пусть у2+ 2e + 4 = t , тогда

t 2 – 7t + 12 = 0?

t1 = 3, t2 = 4

  1. у2 + 2у + 4 = t1, 2. у2 + 2у + 4 = t2
    у2 + 2у + 4 = 3, у2 + 2у + 4 = 4,
    у2 + 2у + 1 = 0, у2 + 2у = 0,
    т.к. 1+(-2) + 1 = 0, то у(у + 2) = 0, то
    у1 = - 1; у2 = - 1. у3 = 0 или у+2 = 0
    у4 = - 2

Ответ: -2; -1; 0.


IV Постановка домашнего задания.

Реализация развивающей цели урока


V Итог урока.

а) Самооценка учащимися своей работы на уроке (на доске помещены нормы оценок).

б) Ещё раз повторить словесную группировку свойств и «метода переброски».


I УРОВЕНЬ

Знаки корней уравнения ах2 + вх + с = 0


Если а > 0; в > 0, с > 0, то х12


Если а > 0; в > 0 , с а > 0; вс > 0) то х1 и х2 имеют разные знаки, причём меньший из них имеет знак коэффициента в.




УПРАЖНЕНИЯ


№1. Устно. Решите уравнение:

а) 19х2 – 24х + 5 = 0;

б) х2 + 17х + 16 = 0;

в) 2х2 – 9х + 9 = 0;

г) х2 – 11х + 30 = 0. (1 балл)



№2. При каком значении р один из корней уравнения х2рх + 9 = 0 равен 1? Найдите х2. (2 балла)



№3. Решите уравнение, используя введение нового неизвестного:

а) (5х + 1)2 + 6(5х +1) – 7 = 0 (2 балла)

б) (2х2 + 3х)2 - 7(2х2 + 3х) = -10 (2 балла)

в)* (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 1 = 0 (3 балла)



  1. Выполни самопроверку, используя ответы.

  2. Оцени каждое правильно решённое уравнение.




Желаю удачи!


ОТВЕТЫ.


№2.

1 способ: х2 – рх + 9 = 0, х1 = 1? Найти р и х2.

Воспользуемся свойством коэффициентов. Если а + в + с = 0, то х1=1.

а = 1; в = - р; с = 9

1 – р + 9 = 0, значит р = 10, тогда

х2 =

Ответ: х2 = 9, р = 10.


2 способ: х2 – рх + 9 = 0, х1 = 1? Найти р и х2.

По теореме обратной теореме Виета.

х12 = 9 → 1*х2 = 9, х2 = 9

х1 + х2 = р, т.к. х1 = 1, то 1 + 9 = 10, р = 10

Ответ: х2 = 9, р = 10.




№3.

а) (5х + 1)2 + 6(5х +1) – 7 = 0

Пусть 5х + 1=t, тогда уравнение примет вид t2 + 6t – 7 = 0,

По теореме обратной теореме Виета:


t1 = 1;

5х + 1 = t1

5х + 1 = 1

5х = 0

х1 = 0






t2 = -7

5х + 1 = t2

5х + 1 = -7

5х = -8

х2 =


Ответ: ; 0.



б) (2х2 + 3х)2 - 7(2х2 + 3х) = -10

Пусть 2 + 3х =t, тогда уравнение примет вид t2 - 7t = -10,

t1 = 2;

2 + 3х = t1

2 + 3х = 2

2 + 3х - 2= 0

х1 =; х2 =


t2 = 5

2 + 3х = t2

2 + 3х = 5

2 + 3х – 5 = 0

х3= 1; х4 =

Ответ: -2,5; -2; ; 1.

в)* (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 1 = 0

2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 1 – 2 +2 = 0

2 + х + 1)2 – 3(х2 – х + 1) +2 = 0

Ответ: 0; -1; - ; -


II УРОВЕНЬ

Решение квадратных уравнений с использованием
таблиц коррекции знаний.


  1. Внимательно просмотри задание и определись с выбором варианта.

  2. Если испытываешь затруднения, то обратись за помощью к левому столбцу таблицы. Прочитай свойство (метод), рассмотри приведённый пример.

  3. Попробуй решить задание самостоятельно, пользуясь образцом.

  4. Пользуясь готовыми ответами, выполни самопроверку (взаимопроверку).

  5. Оцени каждое правильно решённое задание в 1 балл.

  6. Подсчитай полученное число баллов и проставь его на полях тетради.


Я думаю, что у тебя всё получится!

1. свойства коэффициентов
квадратного уравнения.


Правило, образец

Задание


ах2 + вх + с = 0

1. Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =



Пример 1: х2 + 5х – 6 = 0

а = 1, в= 5, с = -6.

Т.к. а + в + с = 1 + 5 + (-6) = 0,

То х1 = 1; х2 = .

Ответ: -6; 1.



2. Если а +(-в) + с =0, то х1 =-1, х2=-.


Пример 2: -2х2 - 3х – 1 = 0

а = -2, в= -3, с = -1

Т.к. а + в + с = -2 + (-(-3)) + (-1)= 0,

То х1 = -1; х2 = .

Ответ: -1; .



I вариант


№1. 5х2 - 4х – 1 = 0

№2. х2 - 4х – 5 = 0

№3. х2 + 6х + 5 = 0

№4. 7х2 - 8х + 1 = 0

№5. 3х2 - 5х + 2 = 0


II вариант


№1. х2 - 3х – 4 = 0

№2. 4х2 + 6х – 10 = 0

№3. 2х2 + 5х + 3 = 0

№4. х2 + 10х - 11 = 0

№5. 3х2 - 4х + 1 = 0


*


№1. х2 - 9х – 10 = 0

№2. 2х2 - 3х + 1 = 0

№3. ах2 - 2ах + а = 0

№4. вх2 + 3вх + 2в = 0

№5. 5сх2 – 6сх + с = 0



2. «МЕТОД ПЕРЕБРОСКИ».


Правило, образец

Задание


ах2 + вх + с = 0, а ≠ 0


*

а х2 + вх + c = 0


a * c t1 * t2

t1*t2 = a*c,

=> х1 = , х2 =

t1 + t2 = - в



Пример:


*

2 х2 – 9х + 10 = 0


а*с = 2*10 = 20

20 = 5*4

х1 = ; х2 = .

Ответ: 2; 2,5.



I вариант


№1. 2х2 - 9х + 9 = 0

№2. 5х2 +12х + 4 = 0

№3. 7х2 - 4х - 11 = 0

№4. 2х2 - 11х + 15 = 0

№5. -3х2 + 13х - 10 = 0


II вариант


№1. 2х2 - 7х + 6 = 0

№2. 2х2 - х – 1 = 0

№3. -3х2 + 2х + 5 = 0

№4. 5х2 - 6х + 1 = 0

№5. 4х2 + 7х - 2 = 0


*


№1. 3х2 - 11х – 14 = 0

№2. 3m2 + 11m + 6 = 0

№3. 5t2 11t + 6 = 0

№4. 2а2 + а - 10 = 0

№5. -6у2 + 5у - 1 = 0


ОТВЕТЫ:


1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.



I вариант.


№1. т.к. 5 + (-4) + (-1) = 0, то х1 = 1; х2 = - ;

№2. т.к. 1 + 4 - 5 = 0, то х1 = -1; х2 = 5;

№3. т.к. 1 + (-6) + 5 = 0, то х1 = -1; х2 = -5;

№4. т.к. 7 - 8 + 1 = 0, то х1 = 1; х2 = ;

№5. т.к. 3 - 5 + 2 = 0, то х1 = 1; х2 = .



II вариант.


№1. т.к. 1 + 3 - 4 = 0, то х1 = -1; х2 = 4;

№2. т.к. 4 + 6 - 10 = 0, то х1 = 1; х2 = - ;

№3. т.к. 2 - 5 + 3 = 0, то х1 = -1; х2 = - ;

№4. т.к. 1 + 10 - 11 = 0, то х1 = 1; х2 = - 11;

№5. т.к. 3 - 4 + 1 = 0, то х1 = 1; х2 = .



*


№1. т.к. 1 + 9 - 10 = 0, то х1 = -1; х2 = 10;

№2. т.к. 2 - 3 + 1 = 0, то х1 = 1; х2 =;

№3. т.к. а – 2а +а = 0, то х1 = 1; х2 = ;

№4. т.к. в -3в + 2в = 0, то х1 = -1; х2 = - ;

№5. т.к. 5с – 6с + с = 0, то х1 = 1; х2 = .


ОТВЕТЫ:

2. «Метод переброски».



I вариант.


№1. х1 = =3; х2 = =1,5.

№2. х1 = =-2; х2 = .

№3. х1 = ; х2 = .

№4. х1 = ; х2 = .

№5. х1 = -=-1; х2 = -.



II вариант.


№1. х1 = =3; х2 = =0,5.

№2. х1 = ; х2 = .

№3. х1 = ; х2 = .

№4. х1 = ; х2 = .

№5. х1 = -; х2 = .



*


№1. х1 = -1; х2 =

№2. х1 = ; х2 = .

№3. х1 = ; х2 = .

№4. х1 = ; х2 = .

№5. х1 =; х2 = .


Здесь представлен конспект к уроку на тему «Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (10 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Решение показательных уравнений различными способами

Решение показательных уравнений различными способами

КОНСПЕКТ УРОКА. Тема урока: Решение показательных уравнений различными способами. Цель воспитательная: обучение учащихся коллективной работе и взаимопомощи. ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Урок алгебры с использованием технологии развития критического мышления по теме «Решение квадратных уравнений». Общедидактическая цель:. создание ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Тема урока Решение квадратных уравнений. Цель урока:. . . - знакомство с методом устного решения квадратных уравнений;. - развивать навыки в ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Приютненская средняя общеобразовательная школа №2». Приютненского района Республики Калмыкия. ...
Решение квадратных уравнений в среде программирования QBasic 8 класс

Решение квадратных уравнений в среде программирования QBasic 8 класс

Интегрированный урок. Алгебра – информатика. Решение квадратных уравнений в среде программирования QBasic. 8 класс. . Учитель МОУ «СОШ №1 с ...
Графическое решение квадратных уравнений

Графическое решение квадратных уравнений

Управление образования. администрации Павловского района. Проект урока. Предмет алгебра. класс 8 В. Тема. Графическое решение ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

КГУ «Первомайский комплекс «Общеобразовательная средняя школа-детский сад имени Д. М. Карбышева» отдела образования Шемонаихинского района». ...
Решение физических задач с помощью линейных уравнений

Решение физических задач с помощью линейных уравнений

Выполнила:. Учитель математики СШ №9 г.Петропавловска СКО Республики Казахстан:. . Шарипова Айман Сакиновна. Интегрированный урок математики: ...
Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств

Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств

Открытый урок по теме: «Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств.». Тип урока:. Обобщение и систематизация ...
Решение целых уравнений различными методами

Решение целых уравнений различными методами

Автор: Жданова Мария Власовна, учитель математики,. МАОУ «Кондратовская СОШ». Технологическая карта открытого урока (28.11.2012г.). . . Предмет. ...
Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений

Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений

Тема:. «Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений». Тип урока:. урок изучения нового материала. Цели урока:. ...
Решение целых уравнений

Решение целых уравнений

Урок алгебры в 9 классе по теме «Решение целых уравнений». Цель: решение уравнений высоких степеней. Задачи: - рассмотреть различные способы решения ...
Решение уравнений с помощью систем

Решение уравнений с помощью систем

Тема: Решение уравнений с помощью систем. Цели:. . 1. Образовательные -. рассмотреть основные методы решения уравнений с помощью систем, учить ...
Методы решение показательных уравнений

Методы решение показательных уравнений

Автор: Дементьева Ирина Николаевна. Место работы: МБОУ СОШ №2. с.Кривополянье Чаплыгинского района. Липецкой области. . Должность: учитель ...
Логарифмы и решение логарифмических уравнений

Логарифмы и решение логарифмических уравнений

Ибрагимов Рустем Фаткулкадирович. учитель математики. МБОУ «Русско-татарская общеобразовательная средняя школа №81». Урок алгебры и начала ...
Решение уравнений. Свойства уравнения

Решение уравнений. Свойства уравнения

Решение уравнений. Свойства уравнения. Предмет. Математика. Класс. 6А. Время. 1 урок (40 мин). Тип урока. : формирование новых знаний. . ...
Решение уравнений с модулем

Решение уравнений с модулем

. . Схема конспекта урока. Педагог Черноусова Татьяна Георгиевна. Предмет алгебра. Класс 11. Тема урока: Решение уравнений с модулем. ...
Логарифмы и решение логарифмических уравнений

Логарифмы и решение логарифмических уравнений

Кукса Людмила Сергеевна. учитель математики. МБОУСОШ № 3 Ленинградского района Краснодарского края. Урок алгебры и начала анализа по теме. ...
Решение уравнений и задач с помощью уравнений

Решение уравнений и задач с помощью уравнений

Разработка урока по математике. . АВТОР СОСТАВИТЕЛЬ УРОКА. Бадыкова Светлана Геннадьевна. Предмет: математика. . Класс. : 5. УЧЕБНИК: Математика: ...
Решение уравнений и неравенств 2 степени

Решение уравнений и неравенств 2 степени

. Интегрированный урок в 9 классе математика + история +литература. ,. посвященный 200-летию Бородинской битвы. . . ТЕМА УРОКА:«Решение уравнений ...