Презентация "Показательная функция" по математике – проект, доклад

«Показательная функция»

Учитель математики МАОУ лицей №3 города Кропоткин Краснодарского края Зозуля Елена Алексеевна

Цель:

Рассмотрение основных свойств показательной функции. Построение графика. Решение показательных уравнений. Решение показательных неравенств.

Определение

Показательная функция – это функция вида , где x – переменная, - заданное число, >0, 1.

Примеры:

Свойства показательной функции

Область определения: все действительные числа Множество значений: все положительные числа При > 1 функция возрастающая; при 0 < D(y) = R; E(y) = (0; + ∞);

График показательной функции

Т.к. , то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1)

1 х у 0

Показательные уравнения

Простейшие уравнения

Способы решения сложных уравнений

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

Способы решения сложных показательных уравнений.

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Замена переменной

Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если соблюдаются два условия:

1) основания степеней одинаковы; 2) коэффициенты перед переменной одинаковы

Например:

При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному.

Способ замены переменной используют, если

показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. Например: 3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0

коэффициенты перед переменной противоположны. Например: 2 2 - х – 2 х – 1 =1

б)

а) основания степеней одинаковы;

Данный способ используется, если основания степеней разные.

а) в уравнении вида ax = bx делим на bx Например: 2х = 5х | : 5x б) в уравнении A a2x + B (ab)x + C b2x = 0 делим на b2x. Например: 325х - 815х + 59х = 0 | : 9x

Показательные неравенства

Простейшие неравенства

Решение неравенств

Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

где a > 0, a  1, b – любое число.

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции.

Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.

Показательная функция

Построение графика Сравнение чисел с использованием свойств показательной функции Сравнение числа с 1 а) аналитический способ; б) графический способ.

Задача 1 Построить график функции y = 2x

x y -1 8 7 6 5 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 3 8 2 4 1 2 0 1

Задача 2 Сравнить числа

Решение Ответ:

Задача 3 Сравнить число с 1.

-5 < 0

Задача 4 Cравнить число р с 1

р =

2 > 1, то функция у = 2t – возрастающая.

0 < Ответ: 23 > 1. > 1

Решение показательных уравнений

Простейшие показательные уравнения Уравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Уравнения, решаемые заменой переменной случай 1; случай 2. Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1; случай 2.

Простейшие показательные уравнения

Ответ: - 5,5. Ответ: 0; 3.

Ответ: 5 x + 1 - (x - 2) = = x + 1 – x + 2 = 3

Замена переменной (1)

основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой .

3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0 t = 3x (t > 0)

t 2 – 4t – 45 = 0 По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4 t1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию

3x = 9; 3x = 32; x = 2. Ответ: 2

Замена переменной (2)

Основания степеней одинаковы, коэффициенты перед переменной противоположны.

По т. Виета:

- Не удовлетворяет условию

Ответ: 1

Ответ: 0

Ответ: 0; 1.

Простейшие показательные неравенства Двойные неравенства Неравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Неравенства, решаемые заменой переменной

Решение показательных неравенств

Простейшие показательные неравенства

Двойные неравенства

Ответ: (- 4; -1). 3 > 1, то

Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Ответ: х >3

Т.к. 3 > 1, то знак неравенства остается прежним

: 10

Метод: Замена переменной

Ответ: х < -1. 3>1, то

Используемая литература.

А.Г.Мордкович: Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень), 10класс,2011г. А.Н. Колмогоров: Алгебра и начала математического анализа,2008г. Интернет