Презентация "Построение сечений: метод следа" по математике – проект, доклад

Построение сечений: метод следов

Подготовил: учитель математики и информатики ГБОУ АО «Астраханский технический лицей» Миляева Е.С.

Астрахань – 2012 г.

Существует три основных метода построения сечений многогранников: Метод следов. Метод вспомогательных сечений. Комбинированный метод.

Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника.

Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

Задача 1.

Дана призма ABCDA1B1C1D1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

P Q R

Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

Прямая PQ, которая принадлежит сечению, пересекается с прямой АВ в точке S1.

Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.

Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т.

Аналогично получаем TU и RT.

Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D.

PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки.

Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда.

Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S.

Эта точка принадлежит плоскости сечения.

Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.

Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.

Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.

Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP.

Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задача 3. (самостоятельно)

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Задача 3. (проверка)

Задача 4.

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани ВСВ'С'.

Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС').

Находим точки В'' и С'' , в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ' и СС'. Точки В'' и С'' - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ' и СС'.

Так как точки В'' и Р лежат в плоскости (АВВ'), то прямая В''Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В''Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС'), то прямая РС'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

Находим точку V, в которой прямая РС'' пересекает ребро А'С'. Это след плоскости (PQR) на ребре А'С'.

Так как точки Q и V лежат в плоскости (А'В'С'), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС.

Итак, мы получили многоугольник QB''PV - искомое сечение.

Задача 5.

На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани А'В'С‘.

Так как точки Q и R лежат в плоскости (А'В'С'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А'В'С').

Находим точки D' и Е', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А'В' и А'С'. Так как точка D' лежит на ребре А'В', отрезок Е’D' - след плоскости (PQR) на грани А'В'С'.

Так как точки D' и P лежат в плоскости (АВВ'), то прямая D'P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ'), а отрезок D'P - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

Так как точки Р и Е' лежат в плоскости (АСС'), то в этой плоскости лежит прямая РЕ'. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

Находим точку К. Так как точка К лежит на ребре СС', то отрезок РК - это след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.

Так как точки Q и К лежат в плоскости (ВСС'), то прямая QК лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'), а отрезок QК- след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'. Итак, мы получили многоугольник QD'РК - это и есть искомое сечение.