Презентация "Последовательности" по математике – проект, доклад

Числовые последовательности Устинова Н.Г., лицей №1.

В сберегательном банке по номеру лицевого счета вкладчика можно легко найти этот счет и посмотреть, какой вклад на нем лежит. Пусть на счете №1 лежит вклад рублей, на счете №2 - рублей и т.д. Получается числовая последовательность: где N – число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число .

Число

называют первым членом последовательности

- вторым членом последовательности и т.д.

- n-ым членом последовательности

Примеры числовых последовательностей

Последовательность положительных четных чисел:

2, 4, 6, 8, ?, 10, … 2n,…

Последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, ….., ,…

Виды последовательностей:

Конечные:

Пример: последовательность положительных двузначных чисел:

10,11,12,….98,99. Бесконечные:

Пример: положительные четные числа:

2,4,6,8,10,…

Способы задания числовых последовательностей:

Перечислением ее членов: 1, 3, 5, 7, 9. – последовательность нечетных однозначных чисел. Формулой n-ого члена последовательности:

2, 4, 6, 8, …2n,… -1, 1, -1, 1, -1, 1,… 5, 5, 5, 5,…

Формулой, выражающей любой член последовательности через предыдущий, зная один или несколько первых членов – реккурентный способ:

11 1, 11, 21, 31, 41,…

Рассмотрим последовательность:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,…

Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Т.е. последовательность – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

d – разность арифметической прогрессии

Нахождение n-ого члена арифметической прогрессии:

По определению арифметической прогрессии:

- формула n-ого члена арифметической прогрессии

Нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии через

Запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна

(1) (2)

Число таких пар равно n.

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

Разделив обе части равенства на 2, получим:

- формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Если задан первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, где вместо

стоит выражение