Презентация "Применение производной к исследованию функции" по математике – проект, доклад

Мы продолжаем изучать тему «Производная функции»

Мы познакомимся с применением производной для нахождения критических точек функции

Желаю успехов в изучении темы!

Применение производной к исследованию функции.

Критические точки функции.

х у у = g (х) у = f (х)

Повторение: описание свойств функции по её графику Изучение нового материала: точки экстремума функции стационарные точки функции критические точки функции

~

Повторение f(х)=… -2 0 1

Постановка проблемы

Как называются точки, в которых функция «меняет характер»?

Как найти эти точки, не выполняя построения графика функции?

1. Точки экстремума.

1.1. Точки максимума.

х1 х3 х2

Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х = х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) > f(х0 ).

Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) > f(х0 ).

f(х1 ) > f (x) f(x2 ) > f (x) f(x3 ) > f (x) Точки максимума: Х=Х1 , Х=Х2 , Х=Х3

Точка х0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) < f(х0 ).

1.2. Точки минимума.

х4 х6 х5

f(х4 ) < f (x) f (x5 ) < f (x) f (x6 ) < f (x) Точки минимума: Х=Х4 , Х=Х5 , Х=Х6

1.3.

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции.

f (х1 ) f (х2 )

Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.

Максимум функции Минимум функции f (х4 ) f (х3 )

1.4.

Касательная к графику функции, проведённая в точке экстремума параллельна оси Ох.

f (x1 ) = f (x 2) =f (x3 ) = f (x 3) = 0

2. Точки перегиба. у = х 3

у/ (х) = 3х2 у/ (0) = 0 точка х = 0 не является точкой экстремума функции точка х = 0 является точкой перегиба функции

3.Стационарные точки.

Точки в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции.

Точка максимума Точка минимума Точка перегиба

Стационарные точки

4. Критические точки функции.

у = | x -2| - 1 -1

Функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной. точка х = 2 является точкой экстремума (точкой минимума) функции в точке х = 2 функция не имеет производной

2 4.1.

Внутренняя точка области определения функции, в которой эта функция имеет производную, равную нулю или не имеет производной, называется критической точкой этой функции.

4.2.

5. Выполнение заданий.

5.1. у = f (x) -2 0 2 4 х = -2 х = 0 х = 2 х = 4

точка минимума точка максимума точка перегиба стационарная точка критическая точка точка экстремума

5.2. f (x)=… Верно ли, что:

1. х = -2 – точка перегиба

2. минимум функции равен (-2)

3. х = -2 - точка минимума

4. минимум функции равен 0

f (х) = 0 при х=-2

f (х) не существует при х= -2

НЕТ ДА

5.3.

Найдите критические точки функции f(х) = х3+0,5х2– 4х

1. Функция определена для всех значений х.

2. Найдём производную функции

f '(х) = 3х2+х– 4

5.4.

1. Функция определена для х ≠ 0 .

Итоги урока

Точка минимума функции

Точка максимума функции

Точки экстремума функции

Точка перегиба функции

Стационарные точки функции

Критические точки функции

Экстремум функции

Свойство производной в точке экстремума

Желаю всем успехов в изучении темы!