» » » Функция y = cos x. Ее свойства и график

Презентация на тему Функция y = cos x. Ее свойства и график


Здесь Вы можете скачать готовую презентацию на тему Функция y = cos x. Ее свойства и график. Предмет презентации: Математика. Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 37 слайдов.

Слайды презентации

Слайд 1
Наумова Ирина Михайловна 1  Ф Ф у у н н к к ц ц и и я я y y = = c c o o s s x x  Е Е е е с с в в о о й й с с т т в в а а и и г г р р а а ф ф и и к к
Слайд 2
Наумова Ирина Михайловна 2  С е г о д н я м ы р а с с м о т р и м • Построение графика функции y = cos x; • Свойства функции y = cos x; • Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; • Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; • Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.
Слайд 3
Наумова Ирина Михайловна 3  П П о о с с т т р р о о е е н н и и е е г г р р а а ф ф и и к к а а • Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок  -1; 1  . Следовательно , график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.
Слайд 4
Наумова Ирина Михайловна 4  К К а а к к и и с с п п о о л л ь ь з з о о в в а а т т ь ь п п е е р р и и о о д д и и ч ч н н о о с с т т ь ь и и ч ч е е т т н н о о с с т т ь ь п п р р и и п п о о с с т т р р о о е е н н и и и и • Так как функция периодическая с периодом 2  , то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2  , например на отрезке -   х   ; тогда на промежутках , получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2  n, n  Z , график будет таким – же . • Функция y = cos x является четной . Поэтому ее график симметричен относительно оси OY . Для построения графика на отрезке -   х   достаточно построить его для 0  х   , а затем симметрично отразить относительно оси OY .
Слайд 5
Наумова Ирина Михайловна 5  Н Н а а й й д д е е м м н н е е с с к к о о л л ь ь к к о о т т о о ч ч е е к к д д л л я я п п о о с с т т р р о о е е н н и и я я г г р р а а ф ф и и к к а а н н а а о о т т р р е е з з к к е е   0 0 ; ;     и и о о т т р р а а з з и и м м , , п п о о л л у у ч ч е е н н н н у у ю ю ч ч а а с с т т ь ь г г р р а а ф ф и и к к а а с с и и м м м м е е т т р р и и ч ч н н о о о о т т н н о о с с и и т т е е л л ь ь н н о о о о с с и и O O Y Y . .
Слайд 6
Наумова Ирина Михайловна 6  Р а с п р о с т р а н и м п о л у ч е н н ы й г р а ф и к н а в с е й ч и с л о в о й п р я м о й с п о м о щ ь ю с д в и г о в н а 2  , 4  и т . д . в п р а в о , н а - 2  , - 4  и т . д . в л е в о , т . е . в о о б щ е н а 2  n , n  Z .
Слайд 7
Наумова Ирина Михайловна 7  И И т т а а к к , , г г р р а а ф ф и и к к ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = c c o o s s x x п п о о с с т т р р о о е е н н г г е е о о м м е е т т р р и и ч ч е е с с к к и и н н а а в в с с е е й й ч ч и и с с л л о о в в о о й й п п р р я я м м о о й й , , н н а а ч ч и и н н а а я я с с п п о о с с т т р р о о е е н н и и я я е е г г о о ч ч а а с с т т и и н н а а о о т т р р е е з з к к е е   0 0 ; ;     . . П П о о э э т т о о м м у у с с в в о о й й с с т т в в а а ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = c c o o s s x x м м о о ж ж н н о о п п о о л л у у ч ч и и т т ь ь , , о о п п и и р р а а я я с с ь ь н н а а с с в в о о й й с с т т в в а а э э т т о о й й ф ф у у н н к к ц ц и и и и н н а а о о т т р р е е з з к к е е   0 0 ; ;     . . Н Н а а п п р р и и м м е е р р , , ф ф у у н н к к ц ц и и я я y y = = c c o o s s x x в в о о з з р р а а с с т т а а е е т т н н а а о о т т р р е е з з к к е е   - -   ; ; 0 0   , , т т а а к к к к а а к к о о н н а а у у б б ы ы в в а а е е т т н н а а о о т т р р е е з з к к е е   0 0 ; ;     и и я я в в л л я я е е т т с с я я ч ч е е т т н н о о й й . . П П е е р р е е ч ч и и с с л л и и м м о о с с н н о о в в н н ы ы е е с с в в о о й й с с т т в в а а ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = c c o o s s x x . .
Слайд 8
Наумова Ирина Михайловна 8  Д Д л л я я э э т т о о г г о о н н у у ж ж н н о о в в с с п п о о м м н н и и т т ь ь • Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций; • Какие функции называются периодическими и как найти период функции; • Какие функции называются четными (нечетными); • Когда функция возрастает (убывает); • Как найти нули функции; • Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения; • Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.
Слайд 9
Наумова Ирина Михайловна 9  О О б б л л а а с с т т ь ь о о п п р р е е д д е е л л е е н н и и я я • Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности , получаемая поворотом точки  1; 0  на угол х радиан . Для этого угла определены sin x и cos x . Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x , т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x .  • Таким образом , областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел .
Слайд 10
Наумова Ирина Михайловна 10  М М н н о о ж ж е е с с т т в в о о з з н н а а ч ч е е н н и и й й • Чтобы найти множество значений функции y = cos x , нужно выяснить , какие значения может принимать y при различных значениях х , т.е. установить , для каких значений у есть такие значения х , при которых cos x = y . Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если | a |  1, и не имеет корней, если | a | > 1.  • Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1  у  1.
Слайд 11
Наумова Ирина Михайловна 11  П П е е р р и и о о д д и и ч ч н н о о с с т т ь ь • Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число Т  0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f ( x – T ) = f ( x ) = f ( x + T ). Число Т называется периодом функции.  • Известно , что для любого значения х верны равенства sin ( x + 2  )= sin x , cos ( x + 2  )= cos x . Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2  . Такие функции называются периодическими с периодом 2  .
Слайд 12
Наумова Ирина Михайловна 12  Ч Ч е е т т н н о о с с т т ь ь , , н н е е ч ч е е т т н н о о с с т т ь ь • Функция y = f ( x ) называется четной , если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (- x ) = f ( x ), график симметричен относительно оси ординат .   • Функция y = f ( x ) называется нечетной , если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (- x ) = - f ( x ), график симметричен относительно начала координат .
Слайд 13
Наумова Ирина Михайловна 13  В В о о з з р р а а с с т т а а н н и и е е , , у у б б ы ы в в а а н н и и е е • Функция y = f ( x ) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у 1 > y 2 ( y 1 < y 2 ), то x 1 > x 2 ( x 1 < x 2 ).   • Функция y = f ( x ) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у 1 > y 2 ( y 1 < y 2 ), то x 1 < x 2 ( x 1 > x 2 ).
Слайд 14
Наумова Ирина Михайловна 14  Н Н у у л л и и ф ф у у н н к к ц ц и и и и , , п п о о л л о о ж ж и и т т е е л л ь ь н н ы ы е е и и о о т т р р и и ц ц а а т т е е л л ь ь н н ы ы е е з з н н а а ч ч е е н н и и я я , , н н а а и и м м е е н н ь ь ш ш е е е е и и н н а а и и б б о о л л ь ь ш ш е е е е з з н н а а ч ч е е н н и и я я . . • Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные:  нулю ;  положительные ;  отрицательные ;  наименьшее ;  наибольшее, • необходимо решить :  уравнение cos x = 0;  неравенство cos x > 0;  неравенство cos x < 0;  уравнение cos x = -1;  уравнение cos x = 1;
Слайд 15
Наумова Ирина Михайловна 15  С С в в о о й й с с т т в в а а ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = c c o o s s x x • Область определения: D(f): х  R ; • Множество значений: у  [ -1;1 ] ; • Периодичность: Т = 2 ; • Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x , график симметричен относительно оси ординат ; • Функция возрастает при: +2 n  x  2(n+1), nZ; • Функция убывает при:  n  x   + 2n, n  Z.
Слайд 16
Наумова Ирина Михайловна 16  С С в в о о й й с с т т в в а а ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = c c o o s s x x ( ( п п р р о о д д о о л л ж ж е е н н и и е е ) ) • Функция принимает значения:  Равные нулю при х= /2+  n, n  Z;  Положительные при - /2+2  n  x   /2+2  n, n  Z;  Отрицательные при  /2+2  n  x  3  /2+2  n, n  Z;  Наибольшее, равное 1, при x = 2n, n  Z;  Наименьшее, равное –1, при x =  + 2n, n  Z.
Слайд 17
Наумова Ирина Михайловна 17  П р е о б р а з о в а н и е г р а ф и к а ф у н к ц и и y = c o s x • Изменение функции  y = cos x + A  y = k · cos x  y = - cos x  y = cos x  • Изменение аргумента  y = cos (x – a)  y = cos (k · x)  y = cos (- x)  y = cos x 
Слайд 18
Наумова Ирина Михайловна 18  y y = = c c o o s s x x + + A A • Параллельный перенос графика функции у = со s x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А > 0 и на А  единиц вниз, если А < 0. • Например: y = cos x + 2; y = cos x – 1.
Слайд 19
Наумова Ирина Михайловна 19  y y = = c c o o s s x x + + A A ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • Изменяются множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. • Например: y = cos x + 2.   E (f) : cos x + 2 = a  cos x = a – 2, т.к. – 1  y  1, то –1  а – 2  1  1  а  3, т.е. y  1; 3.  Нули функции: cos x + 2 = 0  cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2|  1  график данной функции не пересекает ось абсцисс.  f (x) > 0 : при любом значении х.  f (x) < 0 : нет.  y ( наиб) = 3, при: x = 2n, n  Z ( т.к. cos x + 2 = 3  cos x = 1  x = 2n, n Z).  y ( наим) = 1, при: x =  + 2n, n Z ( т.к. cos x + 2 = 1  cos x = - 1  x =  + 2n, n  Z).
Слайд 20
Наумова Ирина Михайловна 20  y y = = k k · · c c o o s s x x • Растяжение графика функции у = со s x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k > 0 и сжатие в 1/ k раз, если 0 < k < 1. • Например: y = 3 • cos x; y = 0,5 • cos x.
Слайд 21
Наумова Ирина Михайловна 21  y y = = k k · · c c o o s s x x ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • Изменяется множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения. • Например: y = 3 • cos x  E (f) : 3 •cos x = a  cos x = a/3 , т.к. – 1  y  1, то - 1  a/3  1  - 3  a  3, т.е. y  -3; 3.  Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x = 2n, n  Z ( т.к. 3cos x = 3  cos x = 1  x = 2n, n  Z).  Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x =  + 2n, n  Z ( т.к. 3cos x = - 3  cos x = - 1  x =  + 2n, n  Z).
Слайд 22
Наумова Ирина Михайловна 22  y y = = - - c c o o s s x x • Симметричное отражение графика функции y = cos x относительно оси абсцисс.
Слайд 23
Наумова Ирина Михайловна 23  y y = = - - c c o o s s x x ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • Изменяются промежутки возрастания (убывания); промежутки положительных (отрицательных) значений.  Функция возрастает на отрезке 0;  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 n, n =  1,  2,  3…  Функция убывает на отрезке ; 2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 n, n =  1,  2,  3…  Функция принимает положительные значения на интервале (/2; 3/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 n, n =  1,  2…  Функция принимает отрицательные значения на интервале (- /2; /2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 n, n =  1,  2…
Слайд 24
Наумова Ирина Михайловна 24  y y = = | | c c o o s s x x | | • Часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.
Слайд 25
Наумова Ирина Михайловна 25  y y = = | | c c o o s s x x | | ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • Изменяются: множество значений функции; период; промежутки возрастания (убывания) ; наибольшее (наименьшее) значение.  E (f) : y [ 0; 1]  Периодичность: Т =   Функция возрастает на промежутке (/2; )+ сдвиги на  n, nZ  Функция убывает на промежутке (0; /2) + сдвиги на  n, n  Z  f (x) > 0: при любом значении х  f (x) < 0 : нет  y ( наиб) = 1 , при х = 2 n, nZ  y (наим) = 0 , при х = /2 +  n, n  Z
Слайд 26
Наумова Ирина Михайловна 26  y y = = c c o o s s ( ( x x – – a a ) ) • Параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на а единиц вправо, если а > 0, на а  единиц влево, если а < 0. • Например: y = cos ( x - /2 ); y = cos ( x +/4 ).
Слайд 27
Наумова Ирина Михайловна 27  y y = = c c o o s s ( ( x x – – a a ) ) ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • Изменяются: четность; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений.  • Например: y = cos (x + / 4 )  Четность: f (x)  f (-x)  -f (x), т.к. cos (-(x + /4)) = cos (- x - /4)  Функция возрастает на [ 3/4; 11/4] + сдвиги на 2 n, n  Z  Функция убывает на [-/4; 3/4 ]+ сдвиги на 2 n, n  Z  f (x) =0 при х = /4 + n, n  Z  f (x) > 0 при х (-3/4; /4) + сдвиги на 2 n, n  Z  f( (x) <0 при х (/4; 5/4) + сдвиги на 2 n, n  Z
Слайд 28
Наумова Ирина Михайловна 28  y y = = c c o o s s ( ( k k · · x x ) ) • Сжатие графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс относительно оси ординат в k раз, если k > 1 , и растяжение в 1/ k раз, если 0 < k < 1. • Например: y = cos 3x; y = cos 0,5x.
Слайд 29
Наумова Ирина Михайловна 29  y y = = c c o o s s ( ( k k · · x x ) ) ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • Изменяются: период; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. • Например: y = cos 3x  Период: Т = 2 /3, (т.к. наименьший положительный период функции y = cos x равен 2, то 3Т = 2  Т = 2/3).  Функция возрастает на  /3; 2  /3  + сдвиги на 2 n /3 , nZ.  Функция убывает на 0; /3 + сдвиги на 2 n /3 , nZ.  f (x) = 0 при х = /6 +  n/3.  f (x) > 0 при х  (- /6; /6) + сдвиги на 2 n /3 , n  Z.  f (x) < 0 при х  ( /6; /2) + сдвиги на 2 n /3 , n  Z.
Слайд 30
Наумова Ирина Михайловна 30  y y = = c c o o s s ( ( - - x x ) ) • Симметричное отражение относительно оси абсцисс.
Слайд 31
Наумова Ирина Михайловна 31  y y = = c c o o s s ( ( - - x x ) ) ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos (-x) = cos (x)  все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos (-x)
Слайд 32
Наумова Ирина Михайловна 32  y y = = c c o o s s | | x x | | • Часть графика, расположенная в области х  0, остается без изменения, а его часть для области х  0 заменяется симметричным отображением относительно оси ординат части графика для х  0.
Слайд 33
Наумова Ирина Михайловна 33  y y = = c c o o s s | | x x | | ( ( с с в в о о й й с с т т в в а а ) ) • В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos |x| = cos (-x) = cos (x)  все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos |x|
Слайд 34
Наумова Ирина Михайловна 34  y y = = 3 3 · · c c o o s s x x – – 2 2 • Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный перенос графика y = 3•cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз) . • Построить график функции y = cos x; • Построить график функции y = 3•cos x (растяжение графика функции y = cos x вдоль оси OY в 3 раза) ;
Слайд 35
Наумова Ирина Михайловна 35  С С в в о о й й с с т т в в а а ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = 3 3 · · c c o o s s x x – – 2 2 • Область определения: D(f): х  R; • Множество значений: y  [- 5; 1], т.к. –1  cos x  1  - 3  3cos x  3  - 5  3cos x – 2  1; • Периодичность: Т = 2 ; • Четность: четная, т.к. 3с os (-x) –2 = 3cos x – 2  график функции симметричен относительно оси OY; • Возрастает: на отрезке [; 2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 n, n = 1, 2;  3…; • Убывает: на отрезке [0;  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2 n, n = 1, 2, 3…
Слайд 36
Наумова Ирина Михайловна 36  y y = = 3 3 – – 2 2 · · c c o o s s ( ( x x + +   / / 2 2 ) ) • Построим график функции y = cos x ; • Построим график функции y = cos ( x + /2 )(параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на /2 единиц влево); • Построим график функции y = 2 cos ( x + /2 )(растяжение графика функции y = cos ( x + /2 ) вдоль оси OY в 2 раза); • Построим график функции y = - 2 cos ( x + /2 )(симметричное отражение графика функции y = 2 cos ( x + /2 ) относительно оси OX ); • Построим график функции y = 3 – 2 cos ( x +  /2) ( параллельный перенос графика функции y = - 2 cos ( x +  /2 ) вдоль оси OY на 3 единицы вверх ).
Слайд 37
Наумова Ирина Михайловна 37  С С в в о о й й с с т т в в а а ф ф у у н н к к ц ц и и и и y y = = 3 3 – – 2 2 · · c c o o s s ( ( x x + +   / / 2 2 ) ) • Область определения : D(f): x  R ; • Множество значений : y   1; 5  , т.к. –1  cos (x + /2 )  1  –2  2cos (x + /2 )  2  1  3 – 2cos (x + /2 )  5; • Периодичность : Т = 2  ; • Четность : ни четная, ни нечетная, т.к. у(-х)  у(х)  -у (х) (график не симметричен ни оси OY , ни началу координат ) • Возрастает : на  3  / 2; 5  /2  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2  n , n =  1,  2,  3… • Убывает: на  /2; 3  /2  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2  n , n =  1,  2,  3… • Функция принимает значения равные:  нулю : нет (уравнение 3 – 2 cos ( x +  /2 ) = 0 не имеет корней т.к. |- 3/2| > 1);  положительные : при любом х ;  наибольшее, равное 5 : при x =  /2 + 2  n , n  Z .  наименьшее, равное 1 : при х = - /2 + 2  n , n  Z .

Другие презентации по математике



  • Яндекс.Метрика
  • Рейтинг@Mail.ru