Презентация "Интегрирование рациональных функций" по математике – проект, доклад

Интегрирование рациональных функций

Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей

Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов:

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:

Привести неправильную дробь к правильному виду:

Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:

Называются простейшими рациональными дробями типов.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители:

можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D… применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере.

Представить дробь в виде суммы простейших дробей:

Интегрирование простейших дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

Интеграл данного типа с помощью подстановки:

приводится к сумме двух интегралов:

Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала.

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы:

a = 1; k = 3

Общее правило интегрирования рациональных дробей

Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной.

Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример

Приведем дробь к правильному виду.