- Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов

Конспект урока «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов» по алгебре для 8 класса

Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики.

Тема: «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов»

Учитель: Гусак Валентина Арсентьевна КГУ «Новосветловская средняя школа».


Цели: -расширить знания способов решения квадратных уравнений, повторить теорему Виета, изучить свойства коэффициентов;

-подготовить учащихся к выполнению теста;

-воспитывать коллективизм, поддержку в командах;

-развивать логическое мышление, быстроту, сообразительность;

-учить грамотной математической речи;

-формировать у учащихся умение прислушиваться к ответам своих товарищей,отстаивать свое решениеесли уверены вправильности ответа.


Оборудование и раздаточный материал: проектор, компьютер, карточки с заданиями и сигнальные карточки, стикеры, ватманы, магниты.

План урока:

Этапы урока

Время, мин

Приемы и методы

1. Этап актуализации знаний.

2. Мотивация учебной проблемы

5

Беседа учителя

3. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

4. Проверка понимания материала темы.

15



8

Групповая работа. Изучение темы и составление постеров, вопросов высокого и низкого порядков.

5. Закрепление изученного материала.Формирование умений и навыков.

6. Ассоциации.

3


3

Защита постеров. Ответы на вопросы

7. Проверка усвоения знаний.


5

Ранжирование по признакам, работа по карточкам. Проверка решений.

8. Рефлексия

3

Пожелание. «Дартс».



Ход урока

Этап

Время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ресурсы

  1. Эмоциональный настрой на урок.

3

Встать в круг. Игра летает, не летает.

На дворе весна, апрель месяц. Вернулись перелетные птицы.

На столах лежат карточки, найдите какие перелетные птицы к нам прилетели, образуйте группы по 6 человек.(4 группы)

Формируют группы:

скворцы, цапли, грачи, лебеди.

картинки с птицами

журавли, ласточки, скворцы, цапли.

  1. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы. Постановка целей

- я знаю что коэффициенты обладают определенными свойствами

- я могу применять данные свойства при решении уравнений

-я могу объяснить товарищам в решении уравнений, как используются данные свойства.

2

  1. Мы с вами уже изучили некоторые способы решения квадратных уравнений. Обсудите в группе и назовите эти способы. Заполним «Понятийное колесо».

  2. Каждая группа назовите по одному способу. И заполните понятийное колесо.

Сегодня мы расширим представление о способах решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Сформулируем цели урока, чего вы должны достичь сегодня.

На кругах пишут способы решения квадратного уравнения:

1. Решение неполного квадратного уравнения

2. Выделения квадрата двучлена

3.С помощью формулы

4. Графически

5. С помощью теоремы Виета.

6. Используя формулы сокращенного умножения

7. По формуле с четным коэффициентом.

8. Другое.


круги по колличеству групп.

8 по 4=32, магниты 10 шт.

  1. Стадия осмысления.



Формирование и закрепление представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

5

10

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко.

Тема «Свойства коэффициентов» в курсе алгебры рассматривается после изучения темы «Решение квадратного уравнения по формуле».

прием «Зигзаг».

Каждый в группе получает ресурс, один из трех, пронумерованный 1,2,3.

Каждый знакомится с материалом и формируются новые группы по 6 человек (с №1, с №2, с №3).

на постерах

«Зигзаг» (один из вариантов использования приемов). Класс разделен на четверки, у каждого школьника номер от 1 до 4. Дети работают с текстом, каждый сосредоточен на части с соответствующим номером, затем первые номера объединяются с первыми, вторые – со вторыми и т.д. для обсуждения своей части текста, составления схемы рассказа по теме и выбора представителя, который проведет итоговую презентацию. Вернувшись в свою группу, школьники по схеме рассказывают о своей части текста, слушают других, делают записи в тетрадях, затем эксперты от каждого номера проводят презентации своих тем, все остальные вносят уточнения и дополнения.

Ресурсы (№1,№2, №3) на 4 группы.

  1. Проверка понимания материала темы


8

Группе «Цапля» предоставляется возможность защитить свой постер.

Остальным участникам подготовить по два вопроса для осмысления и закрепления данной темы.

Защита постера и ответы на вопросы.

Когда целесообразней изучать свойство коэффициентов, до или после изучения теоремы Виета?


маркеры, 6 ватманов.

  1. Закрепление изученного материала. Формирование умений и навыков.

3

Найдите три признака, общих для данных свойств и три отличия.

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а». Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит единица как, произносится как…и это слово уже сегодня звучало в аудитории?

В природе существуют несколько видов цапли. Есть белая цапля и серая цапля. Как вы думаете, какую цаплю можно соотнести к какому из свойств?


Группы отвечают:

1. Используются все три коэффициента

2. К сумме (с+а)…. 3.Похожие формулы корней.

  1. (с+а)+-в

  2. +-1

  3. +-с/а.

Диалогическая беседа. Обсуждение слайда.


слайд «Цапля белая и серая»

6. Ассоциации

3

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а». Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит как, произносится как…«Цапля».

Обсудите и назовите, что есть общего и в чем различия между белой и серой цаплей? Назовите по оному признаку и соотнесите с цаплями.

Выглядит, как…

Звучит, как…

При условии: а+в+с=о

«Цапля» белая


При условии:

а-в+с=о

«Цапля» серая




7.Проверка усвоения знаний.

5

  1. -5х² - 8х – 3=0

  2. 2-10х+7=0

  3. 2-11х+7=0

  4. -2х2-4х+6=0

  5. 3х² + 11х – 4=0

  6. х² - 4х +3=0

  7. 3х² - 2х – 5=0

  8. х² + 7х – 8=0

  9. х² + 6х – 7=0

  10. х² - 7х + 10=0

Выполните задание. Разложите в три колонки уравнения, решаемые по свойству «белой цапли», «серой цапли» и по формуле, через дискриминант.

Назови корни уравнений.

ресурс 4.

8. Рефлексия.

3

Подведем итог нашей работы в виде игры в «Дартс».

На стикерах напишите 1 пожелание и 1 замечание и приклейте в один из секторов.

Пишут пожелания.

стикеры, плакат.





РЕСУРС №1

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.



Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю



Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (a+b+c=0), то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2-4ac= (-(a+c))2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов (a-c)^2\geqslant0, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если a\not=c, то уравнение имеет два корня, если же a=c, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

В частности, если а=с, то корень будет один:  1.



Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.















РЕСУРС №2

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.



Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту



Если в квадратном уравнении ax^2+bx+c=0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются -1  и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

Доказательство

Способ 2. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов (a-c)^2\geqslant0, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если a\not=c, то уравнение имеет два корня, если же a=c, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{-(a+c)\pm\sqrt{(a-c)^2}}{2a}=\frac{-a-c\pm|a-c|}{2a}=\frac{-a-c\pm a\mp c}{2a}.

x_1=\frac{-a-c-a+c}{2a}=\frac{-2a}{2a}=-1;

x_2=\frac{-a-c+a-c}{2a}=\frac{-2c}{2a}=-\frac{c}{a}.

В частности, если a=c, то корень будет один: -1.

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.













РЕСУРС №3

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

  1. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х1 = 1,

х2 =

Доказательство

Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + x + = 0.

Согласно теореме Виета

x1x2 = 1•

x1 + x2 = - .





  1. Если же а – b + с = 0, откуда b = а + с, то:

х1 = -1,

х2 = -

Доказательство

Согласно теореме Виета

x1x2 = - 1• ( - ),

x1 + x2 = - а + = -1 – .

т.е. х1 = -1 и х2 = - , что и требовалось доказать.

Здесь представлен конспект к уроку на тему «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (8 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Квадратные уравнения. Виды и способы решения

Квадратные уравнения. Виды и способы решения

Тема: . Квадратные уравнения. Виды и способы решения. (Урок путешествие). Подготовила: Фисенко Т.В. - учитель математики МБОУ «СОШ № 92», г. Кемерово. ...
Логарифмические уравнения и способы их решения

Логарифмические уравнения и способы их решения

. План-конспект урока по теме:. «Логарифмические уравнения и способы их решения» (10 кл.). Автор:. Филиппова Е.М.,. учитель МБОУ СОШ №1. ...
Виды тестов и способы их решения

Виды тестов и способы их решения

2.5 Конспект урока с аспектным анализом. Тема: Виды тестов и способы их решения. Цель:. - познакомить учащихся с целью проведения ЕГЭ по математике;. ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Проект урока математики /алгебры/ - 8 класс / на основе технологии модерации;. в контексте требований ФГОС ООО /. Учитель: Ладанова Ирина Владимировна. ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс. Автор: Критинина О.М. . – учитель математики МКОУ БООШ №5. Бутурлиновского района. ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

. “… разных детей и учить надо по-разному,потому что каждый по-своему воспринимает информацию”Гарднер. . . Специфика математики как учебного ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Урок по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»(слайд 1). Цели урока:. познакомить с формулой корней квадратного уравнения и учить применять ...
Способы решения уравнений высших степеней

Способы решения уравнений высших степеней

Горелова Татьяна Евгеньевна. Учитель математики. МБОУ «СОШ № 11 ЗМР РТ». Тема урока:. «Способы решения ...
Уравнения и решения задач с помощью уравнения

Уравнения и решения задач с помощью уравнения

Тема: «Уравнения и решение задач с помощью уравнений». 5 класс. Цель:. . закрепить умения и навыки решения уравнений и задач с помощью уравнений. ...
Способы решения иррациональных уравнений

Способы решения иррациональных уравнений

Балагурова-Шемота Наталья Юрьевна. Учитель математики МБОУ лицей №90 г. Краснодар. Учебник А.Г. Мордкович (углубленное изучение). Класс -8. ...
Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение. . «Средняя общеобразовательная школа № 10 с. Солдато-Александровского Советского района». . ...
Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

«Қостанай қаласы әкімдігінің білім бөлімінің негізгі жалпы білім беретін №14 мектебі» ММ. ГУ «Основная общеобразовательная школа № 14 отдела образования ...
Способы решения тригонометрических уравнений

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «СОШ имени А.П.Чехова». . . . . Урок алгебры в 10 классе. Тема урока:. «Способы. решения тригонометрических уравнений. ...
Рациональные способы решения квадратных уравнений

Рациональные способы решения квадратных уравнений

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ. В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами ...
Способы решения иррациональных уравнений

Способы решения иррациональных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Гимназия №10 ЛИК. Города Невинномысска Ставропольского края. Конспект урока по математике ...
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций

Тема урока: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций. . ФИО (полностью). . Кривошеин ...
Нестандартные способы решения уравнений

Нестандартные способы решения уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Шенталинская средняя общеобразовательная школа № 1 «Образовательный центр» муниципального района Шенталинский ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Урок по теме. . «Формула корней квадратного уравнения. ». Организационная информация. Тема урока:. . «Формула корней квадратного уравнения. ...
Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Тема: Нестандартные способы решения. показательных и логарифмических уравнений. и неравенств.(11 класс). Капацына Людмила Константиновна, СШЛ №23 ...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения». . . ФИО (полностью). . Перькова Ирина Васильевна. ...

Информация о конспекте

Ваша оценка: Оцените конспект по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:27 апреля 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Поделись с друзьями:
Скачать конспект