Презентация "Вычисление объемов пространственных тел" по математике – проект, доклад

Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла.

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Немного теории.

Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].

H x

Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

x

С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:

Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].

Sсеч.

Немного теории (базовые классы могут пропустить).

Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:

I. Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой H и площадью основания S.

x[0;H] 0

Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

II. Объем прямой призмы с высотой H и площадью основания S.

III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой H и площадью основания S.

IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S.

Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

V. Объем треугольной пирамиды с высотой H и площадью основания S.



Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.:

VI. Объем n-угольной пирамиды с высотой H и площадью основания S.

Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.:

VII. Объем усеченной пирамиды.

текст

VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.

Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.:

X. Объем усеченного конуса.

XI. Объем шара с радиусом R.

Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где:

R

Значит, объем всего шара равен:

r

XII. Объем шарового сегмента.

Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h :

h

Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!

XIII. Объем шарового слоя.

XIV. Объем шарового сектора.