Презентация "Лабораторный практикум по решению некоторых задач математики" по математике – проект, доклад

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИКИ В КОМПЬЮТЕРНОЙ СИСТЕМЕ

MATHEMATICA 5.0

Презентацию выполнила учитель математики и информатики МБОУ СОШ №10 г.Елабуга РТ. Саутина Анна Леонидовна 2010 год

Численные вычисления Арифметика Вычисление значений математических функций Символьные вычисления ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Преобразование многочленов Преобразование рациональных выражений Комплексные числа Преобразования тригонометрических выражений РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИИ ЧИСЛЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

С помощью Математики можно проводить арифметические вычисления подобно тому, как они делаются на электронном калькуляторе. Необходимо набрать для ввода 15+113, нажать Shift+Enter, и Математика напечатает результат 128. В отличие от калькулятора, Математика может дать точный результат 915. Имеющаяся в Математике функция N используется для получения приближенного результата. Знак % ставится вместо выражения введенного в предыдущей входной ячейке. Ответ дается в стандартном математическом виде и содержит 6 знаков (по умолчанию). Числовой результат можно получить с любой степенью точности. В этом примере 915 вычислено с разрядностью 15 знаков. Математика может дать результат в виде рационального числа. 8/9+11/13=203/117 . В примере 956/26 задано точное рациональное число, оно приведено к несократимой дроби, не изменив тип числа.

Численные вычисления арифметика

ЗАДАНИЯ

С помощью функции Mod вычислен остаток от деления 317 на 89. Функция Quotient вычисляет целую часть от деления 315 на 36. GCD[360,195]- найден НОД чисел 360 и 195. LCM[372,114]- найдено НОК чисел 372 и 114. С помощью функции FactorInteger число разложено на простые множители.

Аргументы всех функций в программе Mathematica заключаются в квадратные скобки. Наименования встроенных функций в программе Математика начинаются с заглавных букв. Pi^4//N =97,4091- вычислено приближенное значение 25!=1۠•2•3….•24•25= 15511210043330985984000000 N[%] =0,55112*1025- это приближенное значение предыдущего выражения. С помощью функций Tan, Sin, ArcCos, ArcSin, Log , Exp вычислены: Tan[Pi/3] Sin[Pi/4] ArcCos[1/2] ArcSin[-0.65] Log[3,6561] Exp[2.7] Здесь Математика без указания функции N дала приближенное значение е 2,7, так как в записи значения аргумента присутствует десятичная точка.

Численные вычисления Вычисление значений математических функций

СТРУКТУРНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ

ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРЫ МНОГОЧЛЕНА

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ

Даны многочлены p, q , t и g . p= 5a2b+2+4ab2-3a2b-7 q= 2a2x3-ax3-a4-a2x3+ax3+2a4 t= 3a4b2-0.8b4b2-2ab3b+b3b2-1 g= 5x2y2-5x3xy-x2y+6xy2 С помощью функции Expand приведены подобные члены в многочленах и они представлены в стандартном виде. Тот же самый результат получен после нажатия клавиш Shift+Enter, Математика переставила члены и привела подобные слагаемые, тем самым многочлен принял стандартный вид.

Преобразования алгебраических выражений Преобразование многочленов

x2y+x+xy2+y+2xy+2 6a3-21a2b+2ab2-7b3 -y6-y5+y4+y3 16ab2-10c3+32ac2-5b2c С помощью функции Factor многочлены разложены на множители.

p=121y2+11xy-66xz-88yz+33y-33z t=36xy3-90y2+36xy+6x+30 g=3a3-15a2b+5ab2 q=-3x4y2-6x2y2+9x2y4 В многочленах p и t за скобки вынесен числовой множитель. В многочленах g и q за скобки вынесены множители, не зависящие от b, x и y соответственно.

q=(2+x-4y)3+(2-z)(1+x+4y)3 Многочлен q приведен к стандартному виду. t=10+18x+12x2+3x3-24y+12x2y+192y2+144xy2+64y3-z-3xz-3x2z-x3z-12yz-24xyz-12x2yz-48y2z-48xy2z-64y2z С помощью функции PolynomialQ проведен тест: является ли t многочленом от x,y,z? Ответ: да. (True – истина) . Применив функции Variables дан список всех переменных многочлена t. Благодаря функции Length определено число всех членов многочлена t. С помощью функции Exponent определена наивысшая степень переменного x в многочлене t. Используя функции Coefficient выписан множитель при xy2 в многочлене t.

f=x6+2yx4-4x3-3x2+8x-5 g=x3+x2-x+1 Введены многочлены f и g. Используя функцию PolynomialQuotient найдем частное от деления f на g. С помощью функции PolynomialRemainder найден остаток от деления f на g. p=9x4+5x2+1 q=3x3+2x2+1 Введены многочлены p и q. С помощью функции PolynomialGCD вычислен наибольший общий делитель многочленов p и q. Функция PolynomialLCM дает возможность найти наименьшее общее кратное p и q. Используя функцию Resultant найден результант многочленов p и q.

ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Пусть P= P(x,y,…,z)- рациональное выражение.

Введено рациональное выражение p.

Функция ExpandNumerator раскрывает скобки в числителях всех дробей. С помощью функции ExpandDenominator раскрыты скобки в знаменателях дробей, а в числителях- нет. Функции Expand и Factor также применимы и к рациональным выражениям. Функция Expand раскрывает скобки в числителях, причем числители почленно поделены на знаменатели и, наконец, функция FullSimplify упрощает выражение полностью.

Преобразования алгебраических выражений Преобразование рациональных выражений

Введено рациональное выражение q.

С помощью функции Factor дроби приведены к общему знаменателю, выполнено сложение дробей, у полученной дроби разложены на множители числитель и знаменатель и даже произведено сокращение общего множителя в числителе и знаменателе. Функция Together производит действия с дробями, полученная в результате дробь приведена к несократимому виду. Применив функцию Cancel к выражению q проведено сокращение одной из дробей (где это возможно). Действия с дробями не проводились, разложение на множители произведено только в знаменателе той дроби, которая подвергалась сокращению.

ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа дает чисто мнимое число. В данном примере

Извлечен квадратный корень из комплексного числа, являющегося точным квадратом:

Получено числовое значение логарифмической функции комплексного аргумента.

Получено комплексное число, сопряженное (4-2 i)4

Введен многочлен над полем C. g=(-1+(x-iy)5)(1+(x+iy)5) С помощью функции ComplexExpand раскрыты скобки в многочлене g, а с помощью функции Factor многочлен разложен на множители.

Преобразования алгебраических выражений Комплексные числа

ОПЕРАЦИИ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Введено выражение d. С помощью функции TrigExpand d преобразовано в выражение, содержащее только тригонометрические функции от x. Функция TrigFactor представляет выражение в виде дроби, числитель и знаменатель которой разложены на линейные относительно тригонометрических функций множители. Используя функцию TrigFactorList получим то же самое, но ответ дан в виде списка множителей, при каждом из которых указывается степень. С помощью функции TrigReduce выражение свернуто в одночлен, содержащий тригонометрические функции комбинированных аргументов. Используя FullSimplify приводим d к самому простому виду. Функция TrigToExp выражение sh x + ch x привела к рациональной функции от экспонент. Применяя функцию ExpToTrig выражение ex переведено в тригонометрическую форму.

Преобразования алгебраических выражений Преобразования тригонометрических выражений

ЗНАКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В УРАВНЕНИЯХ, НЕРАВЕНСТВАХ, ИХ СИСТЕМАХ И СОВОКУПНОСТЯХ

ФУНКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим основные функции Математики, предназначенные для решения уравнений и их систем. С помощью функции Solve решено кубическое уравнение (x+3)3-(x+1)3=56 , его точные корни даны в виде списка правил подстановок. С помощью функции Roots решено тоже самое уравнение, корни даются в виде совокупности простейших уравнений. -рациональное уравнение с параметром. Функция Solve находит решение уравнения с параметром, не рассматривая их специфическое значение, при которых решение существует. Если таковые ожидаются, то лучше использовать функцию Reduce, учитывающую все возможные решения. Также с помощью функции Solve можно решать уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля. Когда Математика не может дать точные выражения для корней уравнения, она дает ответ в таком виде; #1 здесь означает переменное. Из этого ответа следует только то, что рассматриваемое уравнение имеет пять корней над полем комплексных чисел, в таком случае целесообразно применять функцию NSolve для нахождения приближенных значений корней. В последнем примере найдены приближенные решения уравнения.

Воспользовавшись функцией Solve также можно решить иррациональное, логарифмическое, тригонометрическое уравнение.

Функция FindRoot предназначена для вычисления приближенного значения решения уравнения при заданном начальном приближении к решению. При помощи графической функции Plot построен график функции Sin x- x2

на промежутке [-2;2]. По графику определяем нули функции: x=0 (точное значение) и x≈0,9. Теперь можно найти приближенное значение одного из корней уравнения по его начальному значению.

С помощью функции Solve решена система линейных уравнений. Введена матрица коэффициентов при неизвестных.

Введен столбец свободных членов.

С помощью функции LinearSolve получено решение системы.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА Дьяконов В.П. Компьютерная система Mathematica 4.0.: учебный курс- СпБ: Санкт-Петербург,2001. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А., Маслова Т.Н., орловская И.Ф., Позийский Р.И., Ряховская Г.С., Сканави М.И., Суходский А.М., Федорова Н.М. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учеб. пособие/ Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др..; Под ред. М.И. Сканави.-6-е изд., М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образование», «Альянс-В», 2001.-608 с.: ил. Иванов В.Л. Структура электронного учебника /Иванов В.Л./ Информатика и образование – 2001 - №6 – 63 с. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0. в вузовском образовании. – М.: Изд-во МПУ, 2000. – 240 с.:ил. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0. для пользователей. – М.: СОЛОН-Р, 1999. – 240 с.:ил. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений.- М.:Просвещение, 1999.-240 с.:ил. Христочевский С.А. Электронные мультимедийные учебники и энциклопедии // Информатика и образование. – 2000. - №2. – 98 с. http://www.Exponenta.ru (В разделе Mathematica 5.0 рассматриваются статьи преподавателей о возможности применения пакета Mathematica 5.0. в образовательном процессе, правила использования пакета, а также приводятся описания примеров решения математических задач).