Презентация "Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью определителей" – проект, доклад

Научно – практическая конференция школьников «Эврика»

Научно – исследовательский проект

Выполнен ученицей 10 «Б» класса СОШ № 74 г. Краснодара Баевой Татьяной Ивановной

Научный руководитель – учитель математики СОШ № 74 Забашта Елена Георгиевна

Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью определителей

Цель:

изучить свойства определителей и применить их в решении систем линейных алгебраических уравнений.

Задачи исследования:

рассмотрение схем вычисления определителей и их свойств; решение систем линейных алгебраических уравнений и некоторых задач аналитической геометрии с помощью определителей.

=

Определители второго порядка

+ –

Определители третьего порядка

+ -

Минор и алгебраическое дополнение

Минором какого либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со своим или противоположным знаком. согласно следующему правилу: если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное – то с противоположным.

Разложение определителя по элементам первой строки

Величина определителя не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами. При перестановке двух столбцов (или строк) определитель меняет знак. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю. Множитель, общий для элементов некоторого столбца (или строки) можно выносить за знак определителя. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (или строки) равны нулю. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Свойства определителей

Система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

имеет единственное решение х =

; у =

при условии, что определитель системы отличен от нуля, т.е.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

у = z =

, при условии, что определитель системы не равен нулю

Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными

имеет решение х = ; z =

где k – произвольный множитель, если хотя бы один из определителей отличен от нуля. В случае, когда все определители равны нулю, система сводится к одному уравнению.

Однородная система трех уравнений с тремя неизвестными

имеет решение, отличное от нулевого, когда определитель системы равен нулю.

1. Площадь треугольника с вершинами

вычисляется по формуле

, где знак выбирается одинаковым со знаком определителя. 2. Условие, при котором три точки

лежат на одной прямой:

= 0.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

4. Условие, при котором три прямые

пересекаются в одной точке:

Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии

Вычислить определитель

Решение. 1–ый способ.

2-ой способ. Прибавляя удвоенный второй столбец к первому, затем к третьему столбцу и применяя формулу, получим

= - (-2) = 2(84-80) = 8. 3-ий способ. = 4 - (-2) + 4

= 4(4-24) + 2(20-12) + 4(20-2) = -80 + +16 + 72 = 8.

Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1,-1), В(2,3), С(4,5). Решение. Вычислим соответствующий определитель:

= 3-4+10-12+2-5 = -6. Так как

(кв.ед.). Ответ: 3

Решить систему уравнений

Решение. В данном случае:

Определитель системы

, поэтому х = Ответ: (2;-3).

Спасибо за внимание