Презентация "Как найти корни квадратного уравнения?" по математике – проект, доклад

18.02.2019

Как найти корни квадратного уравнения?

Авторы: учащиеся 8 класса Руководитель: Родина Алевтина Карловна МОУ «Блюментальская основная общеобразовательная школа»

Привет, восьмиклассник!

Твоему вниманию предоставляется проект, который поможет тебе научиться находить корни, квадратных уравнений. Здесь ты найдёшь и общий алгоритм решения квадратных уравнений, и теоретические сведения и различные интересные задачи и многое другое. Так что – дерзай! Сядь поудобнее, засучи рукава и …ВПЕРЁД!

Цель проекта

Цель данного проекта – привлечь внимание учащихся к исследовательской деятельности, вызвать интерес к изучению математики, а именно к решению квадратных уравнений. Данный проект предназначен для развития творческих способностей учащихся: предполагает развитие математического и логического мышления при решении поставленных проблем, нацеливает на самостоятельную исследовательскую деятельность, формирует навыки решения квадратных уравнений, активизирует учащихся к работе в предполагаемых проектах и созданию собственных творческих работ. Основной вопрос, на который должны ответить участники проекта: Как найти корни квадратного уравнения?

Дидактические цели проекта

Совершенствование прикладных навыков работы с персональным компьютером в аспекте алгебраических исследований. Теоретическое и практическое владение основами решения квадратных уравнений. Дальнейшее формирование навыков самостоятельной работы в познавательной деятельности.

Методические цели проекта

Научить школьников проводить исследования в области математики. Научить учащихся понимать структуру формулы и алгоритм вычисления корней. Научить школьников оформлять информацию, собранную им самим.

Этапы и ход работы

1 этап. Класс разбивается на группы 5-6 человек. 2 этап. Перед группой ставиться проблемный вопрос. 3 этап. Распределение работ внутри группы. 4 этап. Каждая группа должна выполнить: поиск материала; анализ материала; оформить презентацию и буклет.

Над проектом мы будем работать в течении 3-х недель. За это время мы… Должны решить, что будем делать и зачем. Как разделиться—кто и с кем. Теорию отлично изучить. Задачи подобрать. И алгоритмы получше осветить. И вам, друзьям об этом рассказать!

Подробнее о проекте

Проект "Как найти корни квадратного уравнения?» посвящен изучению темы «Квадратные уравнения» В рамках проекта школьники знакомятся с учебным материалом по данной теме. После чего разбиваются на группы. Перед каждой группой ставится проблемный вопрос. Группа проводит поиск и анализ информации с целью проверки собственных гипотез по сформировавшимся вопросам. По итогам проекта каждая группа подготавливает отчет в виде мультимедийных презентаций, буклетов. В рамках проекта предусматривается выступление перед классом по разрабатываемой теме.

Темы исследования учащихся

1. «Квадратное уравнение и его корни» 2. «Неполные квадратные уравнения» 3. «Метод выделения полного квадрата» 4. «Решение квадратных уравнений» 5. «Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета.»

Немного истории

Уравнение 2 – й степени умели решать ещё в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Средне –азиатский учёный аль - Хорезми ( 19 век) в трактате «Китаб аль - джебр валь - мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата

Франсуа Виет (1540 – 1603) - французский математик, ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых , кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение а х2 + в х + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0 . Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов: а х2 = 0, а х 2 + с = 0, c ≠ 0 a x ² + b x = 0, b ≠ 0.

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Решим уравнение 5х2 = 0. Разделив обе части этого уравнения на 5, получим: х2 = 0, откуда х = 0. Ответ : 0

Решим уравнение – 3 х2 + 5 х = 0. Разложим левую часть уравнения на множители, получим: х( - 3 х + 5 ) = 0, откуда х1 = 0, х2 = 5/3. Ответ : 0, 5/3.

Решить уравнение 2х2 + 7 = 0. Уравнение можно записать так: х2 = - 7/2. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х2 ≥ 0 для любого действительного числа х. Решить уравнение 3х2 – 27 = 0.Разделим обе части уравнения на 3: х2 – 9 = 0. Это уравнение можно записать так: х2 = 9, откуда х 1,2 = ± 3.

Проверь себя! Решите уравнения. х2 = 0; 9 х2 = 81; 4х2 – 64 = 0; 9х2 + 1 = 0; 3 х2 = 1/3; (х2 – 1)/3 = 5

Квадратное уравнение и его корни

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 . Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом трёхчлена а х2 + в х + с Уравнение а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 . имеет два корня:

при этом если D > 0, то корни действительные и различные, при D = 0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при D

Метод выделения полного квадрата

Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. Поясним этот метод на примерах.

Задача1. Решить квадратное уравнение х2 + 2х - 3 = 0 Преобразуем это уравнение так: х2 + 2х = 3, х2 +2х + 1 = 3 + 1, (х + 1 )2 = 4. Следовательно х + 1 = 2 или х + 1 = - 2, откуда х1 = 1, х2 = - 3. Ответ : 1, - 3.

Задача 3. Решить уравнение х2 + 5х – 14 =0. х2 + 5х = 14 . Х2 + 2*5/2х + 25/4 = 14 + 25/4, (х + 5/2) 2 = 81/4, х + 5/2 =± 9/2. х1 = 9/2 – 5/2 = 2, х2 = - 9/2 – 5/2 = -7. Ответ: 2, - 7.

Задача 2. Решить уравнение 4 х 2 – 8х + 3 = 0 4 х 2 – 8х = -3, (2х)2 – 2*2*2х = -3, (2х)2 – 2*2*2х + 4 = -3 + 4, ( 2х – 2 )2 = 1, 2х – 2 = 1 или 2х – 2 = -1, 2х = 3 2х = 1 Х1 = 3/2, х2 = ½ Ответ: 3/2, ½.

Решение квадратных уравнений

Задача 1. Решить уравнение 6х2 +х – 2 = 0. Здесь а = 6, в = 1, с = -2 . По формуле находим: х 1, 2 = ( -1 ±7)/12, откуда х1 =( -1 + 7)/12 = ½, х2 = (-1 – 7)/12 = -2/3. Ответ: ½, -2/3

Задача 2. Решить уравнение 4х2 – 4х +1 = 0. Здесь а = 4, в = -4, с = 1 . По формуле находим: х 1, 2 = ( 4 ±0)/8 = ½. Ответ: ½.

Если b ² - 4 a c

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение x ² + p x + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² + 3 x - 4 = 0 является приведённым. Всякое квадратное уравнение а х ² + b x + c = 0 может быть приведено к виду x ² + p x + q = 0 делением обеих частей уравнения на a ≠ 0. Для приведённого квадратного уравнения формула корней приведенного квадратного уравнения Этой формулой удобно пользоваться когда p – чётное число. Например, решим уравнение x ² - 14 x - 15 = 0. По формуле находим: х 1,2 = 7 ± √ (49 + 15) = 7 ± 8 Х1 = 7 + 8 , х2 = 7 - 8 Х1 = 15, х2 = - 1 Ответ: 15, -1. Для приведённого квадратного уравнения справедлива следующая теорема

Теорема Виета

Если х1, х2 – корни уравнения х2 + рх + g = 0 то справедливы формулы х1+х2 = - р, х1х2 = g. т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Например уравнение х2 – 13 х + 30 = 0 имеет корни х1 = 10, х2 = 3; сумма его корней х1 + х2 = 13, а их произведение х1х2 = 30. Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: х1 = х2 = - р/2. Например, уравнение х2 – 6х + 9 = 0 имеет равные корни: х1=х2 = 3; их сумма х1 + х2 = 6, произведение х1х2 = 9

Задача1. Один из корней уравнения x ² + p x - 12 = 0 равен Х1 = 4. Найти коэффициент p и второй корень х2 , этого уравнения. По теореме Виета х1+х2 = - p , х1х2 = - 12, Так как Х1 = 4, то 4 х2 = - 12, откуда х2 = - 3, p = - ( х1 + х2) = -(4 – 3) = -1 Ответ: 3, - 1.

Задача 2. Составить приведённое квадратное уравнение корни которого х1= 3, х2 = 4. Так как х1=3, х2=4 – корни уравнения х2 + рх + g = 0, то по теореме Виета р = - (х 1 + х 2) = - 7, g = х1х2 = 12. Ответ: х2 – 7х +12 =0.

Задача 3. Один из корней уравнения 3х2 + 8х – 4 = 0 положителен. Не решая уравнения, определить знак второго корня. Разделив обе части уравнения на 3, получим: х2 + (8/3)х – 4/3 = 0. По теореме Виета х1х2 = - 4/30, следовательно, х2

Обратная теорема Виета

При решении некоторых задач применяется следующая теорема. Обратная теореме Виета: Если число р, g, х1, х2 таковы, что х1+х2 = - р, х1х2 = g, то х1 и х2 – корни уравнения х2 + рх + g = 0 Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения

Задача. Подбором найти корни уравнения х2 + 5х + 6 = 0. Здесь р = - 5, g = 6. Подберём два числа х1 и х2 так, чтобы х1+х2 = 5, х1х2 = 6, Заметим, что 6 = 2*3, а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что х1 = 2, х2 = 3 – корни уравнения х2 + 5х + 6 = 0.

Группа теоретиков: учит основы теории решения квадратных уравнений выступает на семинаре первыми! Группа практиков: Учит алгоритм решения квадратных уравнений выступает на семинаре вторыми!

Участники проекта

Используемые ресурсы

Учебник «Алгебра 8» Ш.А. Алимов. И др. «История математики в школе.» Г.И.Глейзер. 60-1-10.