Презентация "Формула полной вероятности. Формула Бейеса" по математике – проект, доклад

Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 13. Тема: Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Цель: Разъяснить формулу полной вероятности и как следствие из неё – формулу Бейеса.

Терминология

Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j Hi – несовместные, образующие полную группу события.

Формула полной вероятности

Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H1),…,P(A׀Hn). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез. Найдем вероятность события А. A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные события, значит , P(HiA) = P(Hi)∙P(A׀Hi) Отсюда – формула полной вероятности

Применяется, когда опыт со случайными исходами распадается на два случая: розыгрыш условий опыта розыгрыш результата

Пример1

Имеются два одинаковых ящика с карандашами. В 1-ом ящике – 2 зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом – 1 зеленый и 3 синих. Наудачу выбирают один из ящиков и вынимают из него карандаш. Какова вероятность вынуть зеленый карандаш?

Решение

Hi – выбор i ящика P(H1) = P(H2)=1/2 P(A׀H1) =2/3 P(A׀H2) = ¼ P(A) =

Пример 2

Предположим, что 0,5% всех мужчин и 0,025% всех женщин дальтоники. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Фразу из песни считать верной: «На 10 девчонок по статистике 9 ребят».

H1 – выбрана женщина H2 – выбран мужчина P(H1) = 10/19; P(H2) = 9/19; P(A׀H1) = 0.00025 P(A׀H2) = 0.005 P(A) =

Формула Бейеса

До опыта о его условиях можно было сделать ряд гипотез H1, H2,…,Hn; ∑Hi = Ω; HiHj = Ø Вероятности гипотез до опыта «априорные вероятности» заданы: P(H1),….,P(Hn); Пусть опыт проведен, в результате его появилось событие А. Найдем вероятность гипотез, при условии, что А произошло (найти «апостериорные» вероятности гипотез, при условии, что опыт дал результат А).

P(H1׀A); P(H2׀A)…. P(Hn׀A) P(HiA) = P(Hi)∙ P(A׀Hi) =P(A)∙ P(Hi׀A) P(Hi|A) = =

Пример 1

Три барабана с лотереями: в 1-ом 50 билетов, из которых два выигрышных; во 2-ом 100 билетов – 4 выигрышных; в 3-ем 300 билетов – 5 выигрышных. Изымают 1 билет – выигрышный. Из какого барабана менее вероятно этот билет?

P(Hi) = 1/3; P(A׀H1) = 2/50=1/25; P(A׀H2) = 4/100=1/25; P(A׀H3) = 5/300=1/60; P(A) = P(H1׀A) = P(H2׀A) = 12/29 P(H3׀A)= 5/29

2. Два студента на практике в налоговой полиции проверяют правильность заполнения налоговых деклараций членами правительства РФ. 1 студент обрабатывает 60% деклараций, 2-ой – 40%. Вероятность того, что 1-ый допустит ошибку при обработке 0.01, 2-ой – 0.03 . Руководитель практики для контроля проверил одну декларацию и выявил ошибку проверки. Определить вероятность того, что ошибся 1-ый студент.

H1 – проверил 1-ый студент Н2 – проверил 2-ой студент А – «студент ошибся» P(H1׀A) =

Вопросы: Каким условиям должны отвечать гипотезы Н для события А? В примере 2 (слайд №13) найти вероятность того, что ошибся 2 студент?

i