Конспект урока «Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение» по математике для 10 класса

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Мурманской области «Мурманский колледж экономики и информационныхтехнологий» (ГАПОУ МО «МКЭиИТ»)

Конспект факультативного занятия по математике в 10 классе

Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение

Подготовила: Преподаватель математики

Конурова Алёна Николаевна

Мурманск, 2015 г.

Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение

(Конспект факультативного занятия по математике в 10 классе)

Конурова Алёна Николаевна

преподаватель математики

ГАПОУ МО «Мурманский колледж

экономики и информационныхтехнологий» 

город Мурманск

Урок. Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение.

Цели урока: ознакомить ребят с новым материалом

Задачи:

образовательная: объяснить применение рассматриваемых задач;
воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету
развивающая: формирование навыков самостоятельной деятельности, выработка внимания.

Тип урока: урок овладения новыми знаниями.

Оформление доски: На доске указаны дата, тема занятия, задания для выполнения в классе, домашнее задание, некоторый теоретический материал.

План урока:

1. Организационный момент – 2 мин.

2. Вступительное слово – 5 мин.

3. Объяснение нового материала – 20 мин.

4. Решение задач – 10 мин.

5. Подведение итогов – 5 мин.

6. Домашнее задание – 3 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент. Учитель приветствует детей, сажает на места, объявляет цель урока. Учитель: «В технике и естествознании, на производстве и в быту встречается особый тип математических задач. Это – так называемые «задачи на максимум и минимум». Вот примеры таких задач:

1) Из круглого бревна выпилить прямоугольную балку так, чтобы получилось наименьшее количество отходов.

2) Из имеющихся досок можно построить забор длиной в 200 метров. Требуется огородить им прямоугольный участок земли, имеющий наибольшую площадь.

3) На стене висит картина. На каком расстоянии от стены она видна под наибольшим углом?

4) На какой высоте надо повесить лампу, чтобы по­лучить наибольшую освещённость?

Во всех этих задачах, несмотря на их различие, мы на­ходим общие черты: всюду речь идёт о том, как при разнообразных возможностях использования наличных средств добиться наилучшего эффекта. Нет надобности говорить о том, насколько важно умение решать такие вопросы. В математике созданы очень сильные и общие способы для решения подобных задач; изучаются они в дифференциальном исчислении.

Однако во многих случаях удаётся решить такую задачу и без привлечения сложного аппарата дифферен­циального исчисления, а пользуясь лишь простыми сред­ствами элементарной алгебры. В этой книжке как раз и излагается несколько способов решения задач на ма­ксимум и минимум без помощи высшей математики¹. Конечно, такие способы применимы лишь в отдельных случаях, но их полезно знать даже и тем, кто знаком и с дифференциальным исчислением».

2. Объяснение нового материала. Основная теорема о квадратных трёхчленах.

1. Рассмотрим две величины х и у, связанные равенством

. (*)

Если мы положим, что , то увидим, что . Если мы дадим другое значение, например , то получим . Вообще мы можем дать величине любое значение, какое только нам захочется, но когда уже примет это выбранное нами значение, то у примет своё значение, так сказать, «автоматически», ибо оно будет определяться равенством (*) и уже не будет зависеть от нашего произвола. Такое положение вещей математики характеризуют, говоря, что является функцией от . Сама величина называется при этом независимой переменной.

Поставим вопрос о том, есть ли среди значений, которые принимает функция [определяемая равенст­вом (*)], самое большое? Легко видеть, что такого самого большого из значений не существует. В самом деле, если независимая переменная будет принимать значения ,то соответствующие значения функции будут откуда видно, что наибольшего значения у нет.

Совсем другой ответ мы получим, если спросим себя, имеется ли среди значений функции самое меньшее.

В самом деле, как показывает равенство (*), функ­ция является суммой двух слагаемых: и 7. Второе из них, т. е. 7, есть некоторое постоянное число, не зависящее от значения х. Что же касается первого сла­гаемого 2х², то оно, очевидно, ни при каком значении х не может оказаться отрицательным,² т. е. меньшим нуля. Однако равным нулю это первое слагаемое 2х² может быть сделано, а именно при х=0. Таким образом, первое слагаемое, а с ним и вся сумма 2х²+7, принимает своё самое меньшее значение при х₀=0. Это наименьшее, или, как говорят, минимальное, значение, очевидно, есть 7, что записывают так: у_мин=7

С помощью таких же соображений легко показать, что у = 5х²+3, у = 9х²+4, у = 2х²-5,

у = 3х²-11 каждая из функций обладает сходными свойствами: наибольшего значения она не имеет, а наименьшее имеет, причём для всех четырёх функций это наименьшее значение достигается при х₀=0 и равно соответственно у_мин=3, у_мин=4, у_мин=-5, у_мин=-11.

2. Рассмотренные только что примеры очень просты. Источником этой простоты служит то обстоятельство, что функция у представлялась в форме суммы двух сла­гаемых, из которых одно было постоянным, а другое, будучи квадратом (с некоторым положительным коэф­фициентом), не могло оказаться отрицательным.

Сложнее обстоит дело в примере у=2х² -12х+93.Чтобы иметь возможность применить ту же идею, что и раньше, перепишем у в другой форме:

у = 2(х²-6х)+93. Теперь добавим в скобку такое число, чтобы в скобке оказался полный квадрат: у = 2(х²-6х+9)+93-18 или у = 2(х-3)²+75. Теперь мы можем применить те же соображения, что и выше. В самом деле, функция у представлена в форме суммы двух слагаемых, из которых одно (а именно 75) не зависит вовсе от , а другое никогда не делается отрицательным, но становится равным нулю, когда . Поэтому наша функция имеет наименьшее значение , достигающееся ею при _.

Что касается наибольшего значения нашей функции, то его не существует, в чём легко убедиться, полагая, например, х₁ = 13, х₂ = 103, х₃ = 1003

Соответствующие значения функции у будут у₁ = 275, у₂ = 200075, у₃ = 2000075.

Аналогично решается пример у = 3х²+24х+50

Опуская пояснения, которые понятны сами собой, имеем:

у = 3(х²+8х)+50; у = (х²+8х+16)+50-48, у = 3(х+4)²

Стало быть, функция у примет наименьшее значение при , причём это наименьшее значение есть

Вот ещё один пример: у = 5х²-50х+39. Здесь х₀ = 5, (черезмы постоянно будем обозначать то значение независимой переменной, которому отвечает наименьшее значение функции).

3 . Не следует думать, что всякий квадратный трёх­член (так называется рассматриваемый вид функции) имеет наименьшее и не имеет наибольшего значения. Например, у функции у = -3х²+8 очевидным образом имеется именно наибольшее, или, как говорят, максимальное, значение _, принимаемое ею при х₀ = 0. Напротив, наименьшего значения у неё нет. Точно так же у функции у = -4х²+40х-73

нет наименьшего, но есть наибольшее значение, в чём мы убеждаемся с помощью следующих преобразований: у = -4(х²-10х)-73; у = -4(х²-10х+25)-73+100; у = -4(х-5)²+27, откуда при получается

3. Итак, некоторые квадратные трёхчлены имеют наименьшее, но не имеют наибольшего значения, другие же, наоборот, имеют наибольшее и не имеют наименьшего значения. Внимательный читатель, вероятно, уже заме­тил, что характер трёхчлена определяется знаком его старшего коэффициента. Чтобы установить это с полной строгостью, рассмотрим вопрос в общем виде.

Пусть имеем квадратный трёхчлен

Здесь коэффициенты могут быть любыми вещественными числами: положительными и отрицательными и да обра­щаться в нуль. Однако старший коэффициент а во вся­ком случае должен быть отличен от нуля, ибо иначе не содержал бы вовсе члена с и не был бы квадрат­ным трёхчленом.

Преобразуем у следующим образом:

y =a Полагая для краткости

получим окончательно:

Важно заметить, что есть некоторое постоянное число, полностью определяемое коэффициентами и совершенно не зависящее от значений независимой переменной .

Различим два случая.

1) Если , то первое слагаемое никогда не делается отрицательным, но при обращается в нуль. Поэтому функция имеет наимень­шее значение, равное _:и не имеет значения наибольшего.

2) Если , то по тем же соображениям оказывается, что,причём это значение достигается при,а не существует.

Заметим, что как наименьшее, так и наибольшее значе­ние функции называется её экстремальным («крайним») значением. Поэтому всё сказанное можно резюмировать в виде следующей теоремы, являющейся для нас основной.

Теорема. Квадратный трехчленимеет экстремальное значение, принимаемое им при_.

Это значение оказывается наименьшим, если , а наибольшим, если . Если существует, то не существует, и наоборот.

Заметим ещё, что, как мы видели выше, это экстре­мальное значение всегда равноили, подробнее, .

Однако этого последнего равенства запоминать не нужно, потому что ведь ото есть значение нашего трёхчлена при . Значит, достаточно подставить в трёхчлен число вместо , чтобы получить величину _.

4. Решение задач. Один из учеников выходит к доске и решает. Остальные выполняют задания на местах и сверяют свои ответы с доской. Необходимо найти максимальное или минимальное значение данной функции.

1. у=3х²-12х+8 Решение. Поскольку коэффициент а больше нуля, то мы будем находить у_мин . Подставляя в формулу _, получим: Теперь необходимо данное значение =2 подставить в начальную функцию, получим: у=3*4-12*2+8=-4 Ответ: у_мин=-4

2. у=-2х²+8х-3 Решение. Поскольку коэффициент а меньше нуля, то мы будем находить у_макс . Подставляя в формулу _,

получим: Теперь необходимо данное значение =2 подставить в начальную функцию, получим: у=5 Ответ: у_макс=5

3. у=2х²-20х+17 Решение. Поскольку коэффициент а больше нуля, то мы будем находить у_мин . Подставляя в формулу _, получим: Теперь необходимо данное значение =-5 подставить в начальную функцию, получим: у=-33 Ответ: у_мин=-33

5. Подведение итогов. Сообщаются оценки, полученные на этом уроке. Ответить на вопросы: Чем занимались на уроке? Для чего?

6. Домашнее задание. Найдите максимальное или минимальное значение данной функции.

1. у=х²-16х+4 Решение. Поскольку коэффициент а больше нуля, то мы будем находить у_мин . Подставляя в формулу _, получим: Теперь необходимо данное значение =8 подставить в начальную функцию, получим: у=-60 Ответ: у_мин=-60

2. у=-3х²+9х-4 Решение. Поскольку коэффициент а меньше нуля, то мы будем находить у_макс . Подставляя в формулу _,

получим: Теперь необходимо данное значение подставить в начальную функцию, получим: у = Ответ: у_макс =

с. у=-2х²+10х-3 Решение. Поскольку коэффициент а меньше нуля, то мы будем находить у_макс . Подставляя в формулу _,

получим: Теперь необходимо данное значение подставить в начальную функцию, получим: у= Ответ: у_макс=_.

Список использованной литературы

1. Бачурин В. А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 712 с.

2. Быков А. А. Тематические тесты по математике. Для учащихся 10-х классов М. Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006

3. Натансон И.П., Простейшие задачи на максимум и минимум, популярные лекции по математике, Москва, 2011г.