Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр внешкольной работы»

План – конспект открытого занятия в детском объединении «Живая логика»

Тема: «Уравнения и неравенства. Решение квадратных уравнений»

Дата проведения: 13марта 2014 г.

Автор: педагог дополнительного

образования МБОУ ДОД ЦВР

Терентьева В.П.

г. Нефтекумск

Ставропольский край

Цель занятия: закрепить знания, умения и навыки воспитанников по определению квадратных уравнений, решению квадратных уравнений и задач с помощью квадратных уравнений, теорему Виета.

Задачи:

• Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

• Развивающие: формировать учебно – познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание, общеучебные умения;
  
  

• Воспитательные: воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, взаимопомощь, умение общаться.

Тип занятия: комплексное.

Оборудование:

• Компьютер

• Слайды с ответами

• Раздаточный материал:

Индивидуальные карточки, карточки с заданиями.

План занятия:

1. Организационный момент.

2. Основная часть.

3. Из истории квадратных уравнений.

4. Математическая разминка.

5. Блиц-турнир.

6. Физминутка.

7. Буквоград.

8. Теорема Виета.

9. Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

10. Рефлексия.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

а) представление педагогов, присутствующих на занятии;

б) представление обучающихся и руководителя объединения;

в) объявление темы, цели и формы проведения занятия.

2.Основная часть занятия.

Ребята, у вас на столах лежат карточки. Сегодня вы будете работать в них, а для оценивая меняться карточками. Так мы с вами сможем оценить друг друга и понять кто лучше усвоил данную тему.

3. Из истории квадратных уравнений.

Ребята, квадратные уравнения встречаются уже в астроно­мическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индий­ским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отри­цательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с на­шим.

В Древней Индии были распространены публичные соревно­вания в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек зат­мит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая ал­гебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам...
Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая...

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузнач­ности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение

Бхаскара пишет под видом

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

А формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написан­ной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некото­рые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга спо­собствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европей­ские учебники XVI—XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и от­рицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только за­дачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вот видите, ребята, ещё в древности математики скурпулёзно изучали решения квадратных уравнений.

Давайте попытаемся ответить на несколько вопросов.

4. Математическая разминка.

Знаете ли вы, ребята, что обозначает слово «блиц-турнир» и с какого языка оно к нам пришло? Для ответа на этот вопрос решите уравнение и по таблице определите:

2x²-7x+6=0

Язык

Корни уравнения
Греческий	-2; 1,5
Латинский	3; 4
Английский	-1,5;2
Немецкий	1,5; 2
Французский	-3; 4

5. Блиц - турнир.

Теперь, когда вы узнали, что слово «блиц» пришло к нам из немецкого языка, давайте, определим, что оно означает в переводе на русский язык. Для этого решите неполные квадратные уравнения и запишите в таблицу буквы, соответствующие найденным ответам.

1. 3х² +27 = 0;    решений нет Н

2. 2 = 7х² + 2; 0; О

3. 4 х² + х = 0; 0; -; Я

4. 9х² – 4 = 0;  М

5. 0,5х² – 32 =0; И

6. (х – 4)(2х + 7) = 0 -3,5;4 Л

Итак, «блиц-турнир» - blizturnier – это молния. И у нас «блиц-турнир». Сейчас я диктую вам уравнения, вы пишите решение самостоятельно в тетрадь. Кто не успел, тот пишет « - ».

1. х² = 36 х = ± 6

2. х² = 17 х = ±

3. х² = - 49 решений нет

4. 3х² = 27 х = ± 3

5. х² = 0 х = 0

6. (х – 2)² = 9 х = - 1; х = 5.

А теперь поменялись карточками и каждый правильный ответ оценим 1 баллом.

6. Физминутка.

А сейчас, ребята, надо немножко отдохнуть.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

7. Буквоград. Проанализируйте высказывания. Зачеркните в таблице буквы, обозначающие ложные высказывания (номер высказывания совпадает с порядковым номером буквы). Из оставшихся букв получите слово.

1. Уравнение x²+9=0 имеет два корня.

2.В уравнении x²-2x+1=0 единственный корень.

3. В уравнении x²-5x+3=0 сумма корней равна - 5.

4. В уравнении x²+3x=0 один из корней – отрицательное число.

5. В уравнении x²=0 дискриминант равен 0.

6. Уравнение x²-8x-3=0 не имеет корней.

7. Корнями уравнения x²-100x+99=0 являются числа 99 и 1.

8. Произведение корней уравнения x²-11x+9=0 равно - 9.

9. Корни уравнения x² – 0,16 = 0 равны .

10. Уравнение x²-9x+8=0 является неполным.

11. Если дискриминант уравнения – число отрицательное, то уравнение не имеет корней.

12. Корни уравнения x²-4х =0 являются противоположными числами.

13. Уравнение x² =0 имеет один корень.

1

В результате вычёркивания букв должно получиться: ОТЛИЧНО.

8. Теорема Виета.

Франсуа Виет.

В стихотворении «Теорема Виета» поэт Александр Гуревич описал формулировку теоремы Виета:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе , в знаменателе

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе , в знаменателе

То есть, Надо установить связь между

и ; ,

и . .

Итак,

Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

Если в уравнении , то один из его корней 1, а другой .

Если в уравнении , то один из его корней – 1, а другой

9. Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

Давайте попробуем устно решить уравнения с помощью теоремы Виета.

Ставим друг другу баллы.

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида и Но также теорему Виета можно применять для решения уравнений.

Давайте решим задачу. Периметр прямоугольника 62 м, его площадь 210 м². Найти его стороны.

Эту задачу мы с вами решали с помощью составления квадратного уравнения. Сейчас разберем другой способ решения этой задачи с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Пусть x₁ и x₂ стороны прямоугольника, то

По теореме, обратной теореме Виета, получаем:

.

Решая это уравнение, получаем, что его корни 21 и 10.

Давайте поведём итоги соревнования. Подсчёт баллов. Награждение победителей медалями «Победитель квадратных уравнений».

10.Рефлексия.

Педагог проводит беседу, в которой выясняется:

- Что нового узнали на занятии?

- Понравилось ли занятие?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?