Презентация "Методы решений заданий С5. Метод областей в решении задач" по математике – проект, доклад

Методы решений заданий С5 (задачи с параметром)

Метод областей в решении задач

(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость)

1. Область определения 2. Граничные линии 3. Координатная плоскость 4. Знаки в областях 5.Ответ по рисунку.

1. Область определения 2. Корни 3. Ось 4. Знаки на интервалах 5. Ответ.

Метод интервалов: Метод областей:

Обобщённый метод областей

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами х – у = 0 (у = х) и х у - 1= 0 (у = 1/х), которые разбивают плоскость на 6 областей.

При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1(отрицательна)

Ответ: заштрихованные области на рисунке удовлетворяют условию (х – у) (х у –1) ≥ 0

х у 0 1 - 1

На координатной плоскости изобразите множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству(х – у) (х у –1) ≥ 0

2 4 5 6

Следовательно, в 1 области, содержащей точку (1; 0), левая часть неравенства имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются.

Пример для понимания «метода областей»

Граничные линии:

Они разбивают плоскость на 8 областей

На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству

Ответ: заштрихованные области на рисунке.

Область определения неравенства:

Проводим граничные линии, с учётом области определения

Определяем знаки на областях подстановкой в отдельных точках

Метод областей при решении задач с параметрами

Ключ решения:

Графический прием

Свойства функций

Параметр – «равноправная» переменная  отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию a = f (x )

Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод

В задаче дан один параметр а и одна переменная х

Они образуют некоторые аналитические выражения F (x;a), G (x;a)

Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно

1. Строим графический образ

2. Пересекаем полученный график прямыми перпендикулярными параметрической оси

3. «Считываем» нужную информацию

Схема решения:

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства (р – х 2 )(р + х – 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства х 2 ≤ 1

Применим обобщенный метод областей.

2) Определим знаки в полученных пяти областях, и укажем решение данного неравенства.

3) Осталось из полученного множества исключить решения неравенства х 2 ≤ 1

По рисунку легко считываем ответ

Ответ: р ≤ 0, р ≥ 3

1) Построим граничные линии

р = 3 р = 0 -1 3 р = х 2 и р = 2 - х

При р ≤ 0, р ≥ 3 в решениях исходного неравенства нет решений неравенства х 2 ≤ 1.

│x│≤ 1, - 1 < x < 1

Сколько решений имеет система

в зависимости от параметра а?

-2

Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1

4 решения при а = 1 Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если

При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения?

и симметрично отображаем относительно оси абсцисс.

Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а.

Решение. Рассмотрим сумму данных выражений

t 12

Сумма данного выражения равна 1, при пересечении параболы с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ:

5 ≤ а ≤ 12

Пусть сos 2 x + 1= t; t ϵ [1; 2];

тогда уравнение примет вид

При каких значениях параметра а сумма log a (cos 2 x + 1) и log a (cos 2 x + 5) равна 1 хотя бы при одном значении х?

log a (cos 2 x + 1) + log a (cos 2 x + 5) = 1;

заметим, 0 ≤ cos 2 x ≤ 1

log a (t∙(t + 4)) = 1; откуда

t 2 + 4t = a у = а

Ответ: при всех a  [5;12]

Построим эскизы этих линий и определим из рисунка количество их общих точек.

А В С О

Найдите все значения параметра а, при которых количество корней уравнения (5 - а) х 3 – 4 х 2 + х = 0 равно количеству общих точек линий х 2 + у 2 = а 2 и у = 5 - │х - 1│

Запишем первое уравнение в виде х (5 - а) х 2 – 4 х + 1)= 0

Заметим, что х = 0 – корень не зависимо от параметра а. Уравнение (5 - а) х 2 – 4 х + 1 = 0 может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от параметра а и D = 4(a – 1).

а = 5; а = 1