Конспект урока «Логарифмы и их свойства» по математике

Методическая разработка учебного занятия по математике

«Логарифмы и их свойства»

Цель урока:

• Образовательная – ввести понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

• Развивающая - развивать математическое мышление; технику вычисления; умение логически мыслить и рационально работать; способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля.

• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

Развить у учащихся умения сравнить, сопоставлять, анализировать, делать самостоятельные выводы.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Ключевые слова: логарифм; свойства логарифма.

Программное обеспечение: MS Power Point.

Межпредметные связи: история.

Внутрипредметные связи: «Корень n-ой степени и их свойства».

План урока

1. Организационный момент.

2. Повторение пройденного материала.

3. Объяснение нового материала.

4. Закрепление.

5. Самостоятельная работа.

6. Домашнее задание. Подведение итогов урока.

Ход урока:

1. Оргмомент: проверка готовности учащихся к уроку; рапорт дежурного.

Добрый день, обучающиеся.

Этот урок я хочу начать со слов А.Н. Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

2. Повторение пройденного материала.

Учащимся предлагается вспомнить:

1. Что такое степень, основание и показатель.

Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. 3⁴ = 81.

2) Основные свойства степеней.

3. Сообщение новой темы.

А теперь перейдем к новой теме. Тема сегодняшнего урока - Логарифм и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов. Тема эта актуальна, т.к. логарифм всегда встречается на итоговой аттестации по математике.

Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log₃ 9=2

Эта запись читается так: «Логарифм числа 9 по основанию 3». Логарифм числа 9 по основанию 3 это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 9. этот показатель равен 2.

Аналогично второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение. Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифмом числа b по основанию a обозначается log_a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). 

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». 

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации. 

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. 

Рассмотрим примеры:

log₃27=3; log₅25=2; log₂₅5=1/2; log₅ 1/125=-3; log_-2-8- не существует; log₅1=0; log₄4=1

Рассмотрим такие примеры:

1⁰. log_a1=0, а>0, a ≠ 1;

2⁰. log_aа=1, а>0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.

В математике принято следующее сокращение:

log₁₀а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).

log_еа= ln а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное  2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят).

Рассмотрим примеры:

lg 10=1; lg 1=0

ln e=1 ; ln 1=0 .

Как перейти из логарифмического равенства к показательному: log_аb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а степени с равен b: а ^с= b.

Рассмотрим пять логарифмических равенств. Задание: проверить их правильность. Среди этих примеров есть ошибки. Для проверки воспользуемся данной схемой.

• lg 1 = 2 (10 ²=100)- это равенство не верное.

• log_1/2 4 = 2- это равенство не верное.

• log₃1=1 - это равенство не верное.

• log_1/3 9 = -2 - это равенство верное.

• log₄16 = -2- это равенство не верное.

Выведем основное логарифмическое тождество: а ^{log a b} = b

Рассмотрим пример.

5 ^log ₅ ¹³ =13

Свойства логарифмов:

3°. log_а ху = log_ах + log_ау.

4°. log_а х/у = log_ах - log_ау.

5°. log_ах ^p = p · log_ах, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log₂8 + log₂32= log₂ 8∙32= log₂ 256=8

3 +5 = 8

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log₂8= log₂8³= log₂512 =9

3∙3 = 9

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.

Возьмем пример: log₃ 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

3. Закрепление.

Для закрепления новой темы решим примеры.

Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

• log₆6

• log _0,51

• log₆3+ log₆2

• log₃6- log₃2

• log₄4⁸

Пример 2.
Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

1. log₂32+ log₂2= log₂64=6

2. log₅5³ = 2;

3. log₃45 - log₃5 = log₃40

4. 3∙log₂4 = log₂ (4∙3)

5. log₃15 + log₃3 = log₃45;

6. 2∙log₅6 = log₅12

7. 3∙log₂3 = log₂27

8. log₂16² = 8.

5. Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.

Вычислите:

1. log₄16

2. log₂₅125

3. log₈2

4. log₆6

Вариант 2.

Вычислите:

1. log₃27

2. log₄ 8

3. log₄₉ 7

4. log₅5

5. Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.

Урок закончен. До свидания.