Презентация "Теорема синусов и теорема косинусов" по математике – проект, доклад

Теорема синусов и теорема косинусов

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα .

Учитель Деменская С.А.

Экскурс в историю Сформулировать и доказать теорему синусов Сформулировать и доказать теорему косинусов Научиться применять данные теоремы к решению задач

Цель урока

В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201-1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы.

Немного из истории

ФРАНСУА ВИЕТ (1540 – 1603) Виет встал у истоков создания новой науки - тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал в словесной форме теорему косинусов.

Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Придя к выводу, что эти обозначения весьма удобны, он стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x.

Сформулируйте теорему о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишите, чему равна площадь треугольника АВС

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

Запишите теорему синусов для треугольника MNF

Запишите теорему синусов для треугольников:

АВС KLM PQH

Замечание

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Доказательство: Проведем диаметр . Рассмотрим , С - прямоугольный => ВС= × sin . Если т. лежит на дуге ВАС, то А1= А, если на дуге BDC, то A1= 180° - A. И в том, и в другом случае sin = sin A => BC= *sin A, BC= 2RsinA или

Дано: R – радиус описанной окружности, ВС = a, - диаметр Доказать: (BC=2RsinA)

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

M F N

Доказательство: у х (0;0) (с;0) (bcos A;bsin A)

Дано: ΔАВС АВ=с АС=b BC=a Доказать:

Запишите теорему косинусов для треугольников:

АВС KLP

Выразим косинус угла из теоремы косинусов

Выразите

Обобщенная теорема Пифагора. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС угол А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по теореме косинусов a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα получаем: a 2 = b 2 + c 2 , т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

C Задача№ 1025 (б) Дано: Найти:

Домашнее задание:

П.97-98 П.99 законспектировать в тетрадь задачи с 1 по 3 Выполнить №1025(а,ж,з)

Спасибо за урок