Презентация "Система координат в пространстве" по математике – проект, доклад

Геометрия, 11 класс

Система координат в пространстве

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Вспомним, как определяется координатная(числовая) прямая. Изображаем произвольную прямую;

х 0 1 М а

Тогда любой точке этой координатной прямой соответствует единственное действительной число a. И наоборот, любое действительное число может быть изображено единственной соответствующей точкой, для которой это число является координатой. Записывают: M(a).

2) Придаем ей положительное направление и обозначаем её;

3) Выбираем произвольную точку за начало отсчета;

4) Определяем длину единичного отрезка (масштаб).

А теперь, что мы подразумеваем под координатной плоскостью.

у b M(a; b)

x y z Ox  Oy  Oz Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Координатные оси:

Выберем в пространстве три попарно перпендикулярные координатные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке 0, соответствующей началу координат каждой оси.

Пунктиром показаны отрицательные части осей.

yz

Координатные плоскости:

Oxz Oxy Oyz

xz  xy

Положение любой точки в пространстве определяется тремя координатами . Проследим как их получить: 1) проведем перпендикуляр из точки A к плоскости Oxy , обозначив точку пересечения Axy ( или Axy – ортогональная проекция точки A на плоскость Oxy ) ;

A Axy

Ayz Axz Ax Ay

2) Далее, в плоскости Oxy, из точки Axy опустим перпендикуляры на координатные оси этой плоскости;

3) Построим прямую пересечения AxAxz плоскостей Оxz и (AAxуAx) – по свойству она параллельна AAху; аналогично, Оуz  (AAxуAу)= AyAyz;

4) Таким образом, мы получили ортогональные проекции точки A на координатные плоскости – точки Axz и Ayz;

5) Осталось опустить перпендикуляры из точек Ayz и Axz на координатную ось аппликат;

Az

Тогда, AAx  Ox, AAy  Oy и AAz  Oz (объясните почему?). Числа a; b; c, соответствующие координатам точек Ax, Ay и Az на числовых осях и являются координатами точки A. Записывают : A(a; b; c). Очевидно, что начало координат в пространстве O(0; 0; 0).

c a

Координаты точки можно понимать как линейные размеры |a|  |b|  |c| прямоугольного параллелепипеда (если координата отрицательная, то берется модуль числа), а положение точки – противоположная началу координат вершина получающегося прямоугольного параллелепипеда. Т.е. модуль каждой координаты равен расстоянию от данной точки до одной из координатных плоскостей.

|a| |b| |c|

2 3

Пример 1. Изобразить точки A(1; 2; 3), B(−2; 2; 1) и C(2; −2; − 3).

A(1; 2; 3)

Для изображения точки A построим ломанную, состоящую из трех последовательных звеньев. От начала координат откладываем 1 ед.отр. вдоль оси Ox. Затем второе звено длиной 2 ед.отр. параллельно оси Oy. И последний отрезок длиной 3 ед.отр. параллельно оси Oz.

B −2 B(−2; 2; 1) C(2; −2; − 3) C −3

Проследите и самостоятельно сформулируйте построение точек B и C.

1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных плоскостей; (например, MOyz, NOxz, KOxy).

Отметим некоторые свойства координат точек:

2). Если две координаты точки равны 0, то точка принадлежит одной из координатных осей; (например, POx, SOy, ROz).

M(0; −2; 3) N(−2; 0; 1) K(1; 3; 0) P(2; 0; 0) R(0; 0; −2) S(0; 2; 0)

Пусть A(a; b; c) −a −b −c A0

Построим точку A0, симметричную данной точке относительно точки O.

3). Тогда координаты точки A0(−a; −b; −c).

Центральная симметрия

A1

Построим точку A1, симметричную данной точке относительно оси Ox.

4). Тогда координаты точки A1(a; −b; −c).

Осевая симметрия

A2

Построим точку A2, симметричную данной точке относительно оси Oy.

5). Тогда координаты точки A2(−a; b; −c).

A3

Построим точку A3, симметричную данной точке относительно оси Oz.

6). Тогда координаты точки A3(−a; −b; c).

A4

Построим точку A4, симметричную данной точке относительно плоскости Oxy.

7). Тогда координаты точки A4(a; b; −c).

Зеркальная симметрия

A5

Построим точку A5, симметричную данной точке относительно плоскости Oxz.

8). Тогда координаты точки A5(a; −b; c).

A6

9). Тогда координаты точки A6(−a; b; c).

Построим точку A6, симметричную данной точке относительно плоскости Oyz.

Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)

x1 x2 y1 y2 z1 z2 |x1–x2| |y1–y2| |z1–z2|

Координаты середины отрезка АВ, где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)

M