Презентация "Логарифмы" по математике – проект, доклад

Алгебра Логарифмы

План:

Определение. Свойства. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Определение логарифма:

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. Основное логарифмическое тождество: alogab= b, где b>0, a>0 Действие нахождения логарифма называется логарифмированием.

Свойства логарифмов:

Loga(bc)=logab+ logac Loga (b/с)= logab-logac Logabr=rlogab Logab=logcb/logca Logab=1/logba alogbc= clogba Logarb=1/r logab alogab= b

Десятичные и натуральные логарифмы:

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb

Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция: y=logax Свойства: Множество значений логарифмической функции -множество всех положительных чисел Множество значений логарифмической функции-множество R всех действительных чисел. Логарифмическая функция y=logax является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 01, то функция y=logax принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 01. Логарифмическая функция y=logax и показательная функция y=ax, где a>0, a≠1, взаимно обратны.

Логарифмическая функция и её график:

y 1 a - 1/a x y=logax, 01

Логарифмические уравнения

Решить уравнение: Log2(x+1)+ Log2(x+3)=3 Решение: Используя свойство логарифма, получаем: Log2(x+1)(x+3)=3 Из этого равенства по определению логарифма получаем: (x+1)(x+3)=8. Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x2+4x-5=0, откуда x1=1, x2=-5 При X2=-5 числа (x+1 и x+3)

Решение систем:

Решить систему уравнений: log2x - log2y = 1, 4y2 +x - 12= 0.

Решение: Из первого уравнения выразим x через y: log2 x/y=log22, x/y=2, x=2y. Подставив x=2y во второе уравнение системы, получим 4y2 +2y – 12=0, откуда y1=3/2, y2=-2. Найдем значения x: x1=3, x2=-4. Проверка показывает, что -4 и -2 – постороннее решение. Ответ. X=3, y=3/2.

Логарифмические неравенства:

Решить неравенство: log2(x-3) + log2(x-2) ≤ 1 Решение: О.о. X>3. Используя свойства логарифма, получаем: log2(x-3) (x-2) ≤ log22. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x>3 неравенство log2(x-3) (x-2) ≤ log22 выполняется при (x-3)(x-2)≤2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений: (x-3)(x-2) ≤2 X>3 /////////////// /////// 0 1 3 4

XXXX Лавенюкова