Презентация "Логарифмы в музыке" по математике – проект, доклад

Логарифмы в музыке

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держаться от нее подальше. Между тем музыканты - даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, "алгеброй гармонию", - соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.

По этому поводу приведем пример из отрывка статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхенвальда*. * (Она была напечатана в "Русском астрономическом календаре на 1919 г." и озаглавлена "О больших и малых расстояниях".)

Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой".

Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так называемые "ступени" темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.

Положим, что нота do самой низкой октавы, будем ее называть нулевой октавой, определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т.д; 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

Логарифмируя эту формулу, получаем: lg Npm = lg n + m lg 2 + p lg 2/12 или lg Npm = lg n + (m + p/12)lg 2, а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg 2 = 1), имеем: lg Npm = m + p/12.

Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве** - мантиссу этого логарифма". * Умноженные на 12. ** Деленный на 12. Например, - поясним от себя, - в тоне sol третьей октавы, т. е. в числе 3 + 7/12 (≈ 3,583) число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, a 7/12 (≈ 0,583) - мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в 23,583, т. е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона do первой октавы.