Презентация "Геометрические задачи типа «С4»" по математике – проект, доклад

Геометрические задачи типа «С4»

по материалам ЕГЭ – 2010

МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1»

Чудаева Елена Владимировна, учитель математики, г. Инсар, Республика Мордовия

Задачи Желаю успеха!

"Дорогу осилит идущий!"

Помните:

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение.

Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС

и точка D лежит вне отрезка ВС.

Рассмотрим 1 случай.

№1

Найдем: Значит, Из ADC, Из ADВ, ?

Рассмотрим 2 случай.

Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно

А В С О x y z Доказательство. М N К

Мы знаем, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, значит AM=AK=x, BM=BN=y, CK=CN=z.

Тогда, периметр АВС равен: , откуда

или

Вспомогательная задача.

Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM .

Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14.

По условию АВСНВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая.

1 случай. ВМН = ВАС;

2 случай. ВМН = АСВ;

АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2.

значит, , значит, №2

нижнее основание вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a, верхнее основание вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a.

Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N . Найдите площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции втрое больше другого.

Возможно два вида трапеции.

Найдем площадь ОMPN:

В обоих случаях:

Рассмотрим первый случай.

№3

SMONP=SAOD – SAMP – SPND.

По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120.

1) BOCAOD , по трем углам h

2) BMCAMP , по трем углам,

Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции.

3) Находим искомую площадь:

а 3а

По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120.

Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции.

Ответ: 27 или 5.

№4

В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.

Пусть О – точка пересечения биссектрис.

Возможны два случая.

1) точка О – лежит внутри параллелограмма;

2) точка О – лежит вне параллелограмма.

12

1) ABN – равнобедренный, т.к.

ВNА=NAD- накрест лежащие;

значит ВNА= ВAN и AB=BN=12,

АN – биссектриса А,

тогда

Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5.

2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12.

Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5.

3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5.

1,5 10,5

Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма.

1)ABМ– равнобедренный, т.к.

Тогда АВ=ВМ=12.

2) Аналогично DNC– равнобедренный,

3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108.

ВMА=MAD- накрест лежащие;

значит ВMА= ВAM.

АМ – биссектриса А,

Ответ: 13,5 или 108. тогда NC=DC=12.

http://office.microsoft.com/ru-ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D1%8B

Использованные ресурсы

Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина

http://alexlarin.narod.ru/ege.html

Рисунок на слайде №2

Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru