Презентация "Цилиндр" по математике – проект, доклад

Выполнил: Студент гр 916 Ковардинов Павел

Цилиндром (точнее, прямым круговым цилиндром) называется тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.

Определение и общие свойства цилиндра.

Призма называется описанной около цилиндра, если осно­вание её - это многоугольники, описанные около основания цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра

Свойство 1: Все образующие цилиндра равны друг другу. Свойство 2: Основание цилиндра равны друг другу. Свойство 3: Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостями основания цилиндра, равны основания цилиндра.

Перпендикуляр, опущенный из любой плоскости одного основания цилиндра на плоскость другого его основания, называется высотой цилиндра (иначе длина образующей). Т.к. плоскости оснований параллельны, то перпендикуляры у них общие и все они равны. Поэтому высоту можно проводить из любой точки плоскости основания.

Цилиндр вращения.

Прямым круговым цилиндром называется прямой цилиндр, основание которого – круг. Отрезок, соединяющий центры его оснований, называется осью цилиндра. Ось прямого кругового цилиндра является его осью вращения, а сам он – фигура вращения. Все сечения прямого кругового цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям оснований, являются кругами с центрами на оси (по свойству 3). Плоскости этих кругов перпендикулярны оси.

Эти прямоугольники называются осевыми сечениями цилиндра вращения. Образующие цилиндра вращения, исходящие из точек окружности основания, образуют его боковую поверхность. Поэтому прямой круговой цилиндр является фигурой вращения и его называют цилиндром вращения. Он получается вращением прямоугольника вокруг своей оси симметрии, а также вращением прямоугольника вокруг стороны .

Эллипс как сечение цилиндра вращения

Простейшую кривую поверхность, именно круговой цилиндр, можно получить при помощи простейших кривых – окружности и прямой – следующим образом. Через одну из точек окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости круга, и будем перемещать её параллельно самой себе вдоль всей окружности. Можно также получить круговой цилиндр, заставив одну прямую вращаться вокруг другой прямой, параллельной первой и служащей для первой прямой осью вращения. Таким образом, круговой цилиндр есть поверхность вращения.

Теорема: объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Доказательство: Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn, а в эту призму впишем цилиндр Pn. Обозначив через V и Vn объемы цилиндров Р и Рn, через rn – радиус цилиндра Рn. Так как объем призмы Fn равен Sn∙ h, где Sn – площадь основания призмы, а цилиндр P содержит призму Fn, которая, в свою очередь, содержит цилиндр Pn, то Vn< Sn∙h

Площадь цилиндра.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развертки. Так как площадь прямоугольника АВВ'A' равна AA'∙AB=2πrh, то для вычисления площади Sбок боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок = 2πrh (1) Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна πr2, то для вычисления площади Sцил полной поверхности цилиндра получаем формулу: Sцил = 2πr (r + h)

Задача №1 Осевой сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найти: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

а) Дано: ВД = 20см АВСД – осевое сечение, квадрат. Цилиндр Найти: h - ?;

Решение: а) Так как АВСД – квадрат, то АВ=АД. Из треугольника АВД по теореме Пифагора: АС2 = ВА2 + АД; 202 = h2 + h2; 202 = 2h2; h 400 = 2 h2; h2 = 400; h = 10√2 .

Дано: цилиндр АВСД – осевое сечение, квадрат. Найти: Sосн - ?

Решение: б) Sосн = πr2; r = 1/2АД; r =1/2h; r= (1*10√2)/2= 5√5 ; Sосн = π(3√2 )2; Sосн = π ·25(√2 )2; Sосн = π50. ВД = 20см