Презентация "Логические операции" по математике – проект, доклад

Операции алгебры логики

Высказывание в логике является аналогом выражения в арифметике: В алгебре чисел из чисел при помощи операций +, -, *, / и (,) можно составлять арифметические выражения. В логике из простых высказываний (ИСТИНА, ЛОЖЬ) можно составлять логические выражения (составные высказывания) с использованием логических операций.

Обозначения логических значений

А, В – логические переменные, которые могут иметь значение ИСТИНА (И), ЛОЖЬ (Л). А = 2 + 2 = 4; В = рыбы живут на суше;

НАПРИМЕР:

Таблица истинности

- таблица, устанавливающая соответствие между возможными значениями наборов логических переменных и значениями функции.

Введем обозначения: 0 – ЛОЖЬ, 1 - ИСТИНА

Основные логические операции

И – логическое умножение, ИЛИ – логическое сложение, НЕ – логическое отрицание.

Простые высказывания могут быть связаны между собой словами И, ИЛИ, НЕ. Получившееся высказывание – сложное высказывание.

Логическое умножение (конъюнкция)

Соединение двух простых высказываний в одно составное с помощью операции И. Полученное сложное высказывание – логическое произведение (конъюнкция). Обозначение: & , , · , x – математическим знаком умножения или опуская его.

Таблица истинности:

Произведение двух высказываний А, В истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Например:

«Солнце светит и нет дождя» Обозначим: А = «Солнце светит», В = «нет дождя». С = АВ С = «Солнце светит и нет дождя».

Логическое сложение (дизъюнкция)

Союз ИЛИ в обиходе применим в двух различных значениях: в исключающем и неисключающем смысле. Например: «Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай» - союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как мы можем и смотреть телевизор и одновременно пить чай. «Данный глагол I или II спряжения» - союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.

Разъяснение:

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Соединение двух простых высказываний в одно составное с помощью операции ИЛИ, употребляемой в неисключающем смысле. Полученное сложное высказывание – логическая сумма (дизъюнкция). Обозначается , + .

Сумма двух высказываний А, В истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание.

«Студент едет в электричке или читает книгу» Обозначим: А = «Студент едет в электричке», В = «Студент читает книгу». С = А  В С = «Студент едет в электричке или читает книгу».

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы НЕ к сказуемому данного высказывания А, или словосочетания «неверно, что» ко всему высказыванию Полученное новое высказывание называется отрицанием высказывания А или логическое отрицание. Обозначение: ¬A, Ā. Если А – истинное высказывание, то ¬A – ложное высказывание, и наоборот.

Отрицание истинного высказывания есть ложь.

«Число 5 является делителем числа 30» Обозначим: А = «Число 5 является делителем числа 30», Ā = «Число 5 НЕ является делителем числа 30». К = «Некоторые цыплята - кошки», К = «Неверно, что некоторые цыплята - кошки». Д = «Идет дождь», Д = «Неверно, что идет дождь».

При образовании сложных высказываний из простых можно использовать несколько логических операций. Приоритет выполнения операций (если нет скобок): I – НЕ, II – И, III – ИЛИ.

Операции инверсия, конъюнкция и дизъюнкция являются основными операциями алгебры логики и называются булевыми операциями.

Существуют другие логические операции. Но они могут быть выражены через основные, поэтому их можно назвать функциями.

Эквивалентность

Обозначение: ~ Логическая связка «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА» Сложное высказывание А ~ В (А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

A ~ B =А B  A  В

Определение через основные функции:

А = Площадь квадрата больше единицы, В = Сторона квадрата больше единицы. Их соединение эквивалентностью: A ~ B = Площадь квадрата больше единицы тогда и только тогда, когда сторона квадрата больше единицы.

Исключающее ИЛИ (строгая дизъюнкция)

Обозначение: АВ Логическая связка «ЛИБО…, ЛИБО» Высказывание, соответствующее исключающему или, похоже на дизъюнкцию, но исключает одновременную истинность обоих высказываний

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

A  B = А B  А  В

Импликация

Обозначение: А → В Логическая связка «ЕСЛИ..., ТО» (логическое следование одного высказывания из другого) Импликация А→В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно.

A → B =А + B

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый. A → B = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый». Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Сводная таблица логических операций

Приоритет выполнения логических операций (если нет скобок)

ABC→CA~B  CA (((A)(BC))→(CA))~((BC)A) 1 3 2 5 4 8 6 7 ABC→CA~B  CA

Перевод логических операций на естественный язык:

Пример:

Изобразить в виде формулы суждение: «Я обязательно поеду на футбольный матч, если достану билет или меня пригласит товарищ и если не будет дождя».

Поездка на стадион зависит от условий: я достану билет – я не достану билет; меня пригласит товарищ – меня не пригласит товарищ; будет дождь –не будет дождя.

Введем обозначения:

Б – я достану билет; Б – я не достану билет; П – меня пригласит товарищ; П – меня не пригласит товарищ; Д – будет дождь; Д – не будет дождя.

Сложное высказывание: «Я достану билет или меня пригласит товарищ и не будет дождя»

Б  ¬Д  П ¬Д или, то же самое – Б · Д + П · Д

Данное высказывание равносильно поездке на матч – М

М = Б ·¬Д + П ·¬Д

Составление таблицы истинности для сложного высказывания. (Например: А·(В + С).) Правило:

Число исходных столбцов равно числу переменных (простых высказываний) – n. (в примере n = 3); Число строк равно 2n. (у нас: 2n = 23 = 8). Порядок заполнения строк для исходных столбцов: 1-й столбец. Число строк (23 = 8) делится пополам. Верхняя половина заполняется нулями, нижняя – единицами. 2-й столбец. Число строк делится на 4 части. Первая четверть заполняется 0, вторая – 1, третья – снова 0, четвертая 1. 4. В первых строках таблицы выписаны возможные наборы комбинаций значений истинности простых высказываний (А, В, С). В следующих столбцах – значения истинности последовательно выполняемых операций и окончательного результата.

¬А · (В + С)

Самостоятельная работа

1. Составить таблицу истинности: М = Б ·¬Д + П ·¬Д 2. Изобразить в виде формулы: «Если сегодня будет хорошая погода, я пойду на прогулку, или буду делать уроки, если погода будет плохая.»

Доказать справедливость тождества

A + B·C = (A + B) · (A + C)

Столбцы равны. Тождество доказано.

A + B = (A & B)