Презентация "Транспортные задачи и задачи о назначениях" по математике – проект, доклад

Лекция 5. Транспортные задачи и задачи о назначениях

Содержание лекции: Формулировка транспортной задачи Метод потенциалов Особенности решения открытой транспортной задачи Задача о назначениях

Транспортные задачи и задачи о назначениях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Литература

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — раздел 3.2. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. – 2-е изд. М.: Финансы и статистика, 2005. — раздел 2.2.6. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001.

5.1. Формулировка транспортной задачи

Дано: Множество I, включающее m пунктов отправления груза, имеющегося в количествах ai (i=1…m) Множество J, включающее n пунктов потребления, в каждом из которых имеется спрос на данный груз в количестве bj (j=1…n) Затраты cij на перевозку единицы груза между пунктами i и j Найти: План перевозок X = (xij), согласно которому груз из пунктов отправления перевозится в пункты потребления с минимальными издержками, а спрос удовлетворяется полностью Обычно предполагается, что общий размер запасов груза равен спросу (закрытая транспортная задача). При этом условии задача всегда имеет оптимальное решение.

5.1.

Математическая запись

Получившаяся задача имеет форму задачи линейного программирования Её можно решить симплексным методом Однако есть более эффективные способы её решения

5.2. Метод потенциалов

5.2.1. Начальное распределение транспортных потоков

Теоретическая основа Ранг матрицы ограничений транспортной задачи равен n+m–1 В оптимальном плане все переменные, кроме n+m–1, будут свободными Следовательно, равными нулю Метод северо-западного угла Не использует данных о затратах Обычно приводит к распределению, требующему много корректировок Зато самый простой 

 5.2.1

i=1, j=1 xij = min(a’i,b’j) Если xij = a’i, то i  i+1; иначе j  j+1 Если i>m, то процесс завершён; иначе переход к 2.

30

Ещё не вывезенный остаток

Ещё не удовлетво-рённый спрос

10 20

Начальное распределение получено!

i =1 j =1 i =2 i =3 j =2 j =3

5.2.2. Расчёт потенциалов

Теоретическая основа Потенциалы приписываются поставщикам (ui) и потребителям (vj). Уравнение потенциалов cij = vj – ui Расчёт потенциалов: подобрать такие vj и ui, чтобы уравнение потенциалов выполнялось для всех базисных клеток (перевозок)

5.2.2

i = 1; ui = 0 В строке i находим множество столбцов J’ с ненулевыми перевозками и нерассчитанными потенциалами Для всех j  J’ выполняем vj  ui + cij В столбце j находим множество строк I’ с ненулевыми перевозками и нерассчитанными потенциалами. Для всех i  I’ выполняем ui  vj – cij Выполняем (2) Процесс закончен, когда I’ или J’ оказывается пустым

Расчёт потенциалов завершён!

0 6 -2 12 10/18

5.2.3. Проверка оптимальности

Теоретическая основа По используемым перевозкам cij разница в «ценах» (потенциалах) у потребителя j и у поставщика i равна стоимости перевозки это следует из способа расчёта потенциалов Неиспользуемая перевозка cij выгодна, если разница в «ценах» (потенциалах) у потребителя j и у поставщика i больше стоимости перевозки Условие оптимальности Разница в потенциалах потребителя и поставщика по всем неиспользуемым перевозкам не больше стоимости перевозки

11/18

5.2.3

Условие оптимальности Разница в потенциалах потребителя и поставщика по всем неиспользуемым перевозкам не больше стоимости перевозки В нашем примере выполняется не по всем неисп. перевозкам Выполняется только для 1  2. Значит, требуется переход к п.4. – корректировка плана

12/18 -3 5 9 2

5.2.4. Корректировка плана

Выбираем клетку с превышением разности потенциалов потребителя и поставщика над стоимостью транспортировки как правило, с наибольшим Строим контур (см. схему), начиная с данной клетки Помечаем вершины контура знаками + и – начинаем со знака + в выбранной свободной клетке

Находим наименьшую из величин в клетках со знаком – Вычитаем её из всех клеток «–» и прибавляем ко всем клеткам «+» Одну из клеток, в которых оказался нуль, объявляем свободной. Переходим к проверке критерия оптимальности

13/18

5.2.4 14/18

ОСОБЕННОСТИ Контур можно построить всегда, но не всегда удаётся угадать правильный путь В больших задачах отыскание циклов вручную может оказаться проблематичным Для компьютерных программ это не составляет проблемы Контур может оказаться вырожденным Так случается, если наименьшим значением в клетке со знаком – оказывается нуль Пересчёт по такому циклу не улучшает план, вследствие чего метод может зациклиться в этом случае выбирают другую свободную клетку в качестве начальной Если после пересчёта получились нули в нескольких клетках, в качестве свободной можно выбрать любую из них Остальные считаются базисными с нулевым объёмом перевозки

15/18

5.3. Особенности решения открытой транспортной задачи

16/18

5.4. Задача о назначениях

17/18

5.4

Переформулируется в транспортную задачу по следующему правилу: имеется n поставщиков, располагающих единичными ресурсами работники имеется n потребителей с единичным спросом работы стоимость перевозок равна добавленной стоимости, взятой со знаком «минус» это делается для того, чтобы добавленная стоимость максимизировалась Решается методом потенциалов, как обычно «Перевозки единичного объёма груза» интерпретируются как назначение работника i на работу j Все базисные переменные в этом случае могут принимать только единичные значения

18/18