Презентация "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga" (11 класс) по математике – проект, доклад

Определение чисел arcsina, arccosa, arctga, arcctga

Автор Календарева Н.Е. © 2011 г.

План

Теорема о корне монотонной функции Возрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2] Определение арксинуса числа График синуса на отрезке [−π/2; π/2] Примеры Определение арккосинуса числа Определение арктангенса числа Определение арккотангенса числа

Теорема о корне монотонной функции

Пусть функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке

, а число а – любое из значений функции f из множества значений. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень в промежутке

.

Доказательство

Доказательство для возрастающей функции. По условию число а – какое-либо значение функции f, т.е. в промежутке

существует такое число b, что f(b) = a. Докажем единственность.

От противного. Допустим, на промежутке есть еще одно число с ≠ b, такое что f(c) = a. Но а = f(b), т.е. f(c) = f(b). Так как с ≠ b, то для определенности пусть c > b. Но функция f возрастает на

, поэтому f(c) > f(b). Это противоречит равенству f(c) = f(b).

Следовательно, число b одно, т.е. на промежутке

функция f имеет единственный корень. Теорема доказана.

Возрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2]

Функция синус на отрезке [−π/2; π/2] возрастает. Докажем это. Пусть х1, х2  (−π/2; π/2) и х1 0. sinx2 – sinx1=

Имеем неравенства , Сложим − π

Сложим  0. Получим Следовательно, синус этого числа > 0. Доказали, что синус возрастает на отрезке [−π/2; π/2] .

Определение арксинуса числа

Функция синус принимает значения из отрезка [− 1; 1]. Рассмотрим уравнение sinx = a, где | a | ≤ 1. По теореме о корне уравнение sinx = a имеет один корень b из отрезка [−π/2; π/2] такой, что sinb = a. Это число b называется арксинусом числа а. Обозначают arcsin a.

Арксинусом числа а из отрезка [− 1; 1] называется такое число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен а.

График синуса на отрезке [−π/2; π/2]

sinb = a; b = arcsin a, где а  [− 1; 1], b  [−π/2; π/2].

Чему равен arcsin следующих чисел?

arcsin0 = Ответ: arcsin0 = 0. 2. arcsin1 = Ответ: arcsin1 = π/2. 3. arcsin(1/2) = Ответ: arcsin(1/2) = π/6. 4. arcsin2 ТАК НЕЛЬЗЯ ПИСАТЬ!

5. arcsin(−1) = Ответ: arcsin(−1) = − π/2. 6. arcsin(− 1/2) = Ответ: arcsin(− 1/2) = − π/6.

Определение арккосинуса числа

Функция косинус убывает на отрезке [ 0; π]. (доказательство аналогично). Рассмотрим уравнение cosx = a, где | a | ≤ 1. По теореме о корне это уравнение имеет один корень b из отрезка [ 0; π] такой, что cosb = a.

Это число называется арккосинусом числа а. Обозначают arccos a. Арккосинусом числа а из отрезка [− 1; 1] называется такое число из отрезка [ 0; π], косинус которого равен а.

График косинуса на отрезке [ 0; π]

cosb = a; b = arccos a, где а  [− 1; 1], b  [ 0; π].

Чему равен arccos следующих чисел?

arccos0 = Ответ: arccos0 = π/2. 2. arccos1 = Ответ: arccos1 = 0. 3. arccos(1/2) = Ответ: arccos(1/2) = π/3. 4. arccos(3/2) ТАК НЕЛЬЗЯ ПИСАТЬ!

5. arccos(−1) = Ответ: π.

Определение арктангенса числа

Функция тангенс возрастает на интервале (−π/2; π/2). Ее множество значений – это R. Рассмотрим уравнение tgx = a, где а – любое число. На промежутке возрастания, т.е. на интервале (−π/2; π/2) это уравнение имеет один корень b такой, что tgb = a.

График тангенса на (−π/2; π/2) tgb = a; a = arctgb, где а  (−∞; +∞), b  (−π/2; π/2) .

Это число называется арктангенсом числа а и обозначают arctg a. Арктангенсом числа а, где а – любое число, называется такое число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен а.

Определение арккотангенса числа

Функция котангенс убывает на интервале (0; π). Ее множество значений – это R. Рассмотрим уравнение ctgx = a, где а – любое число. На промежутке убывания, т.е. на интервале ( 0; π) это уравнение имеет один корень b такой, что ctgb = a.

Это число называется арккотангенсом числа а и обозначают arcctg a. Арккотангенсом числа а, где а – любое число, называется такое число из интервала ( 0; π), котангенс которого равен а.

График котангенса на ( 0; π)

ctgb = a; a = arcctgb, где а  (−∞; ∞), b  ( 0; π) .

Домашнее задание

Выучите определения арксинуса числа, арккосинуса числа, тангенса и котангенса чисел (на оценку) Надо понимать, что такое арксинус числа, как он изображается на круге, на какой дуге и т.д.